English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

cos(3x)-21cos(x)+16=0

Решение

cos (3 x) - 21 cos (x) + 16 = 0

Решение

x = 0.74946 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.74946 \dots + 2 πn

Градусы

x = 42.94140 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 317.05859 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Шаги решения

cos (3 x) - 21 cos (x) + 16 = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

16 + cos (3 x) - 21 cos (x)

cos (3 x) = 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

cos (3 x)

Перепишите используя тригонометрические тождества

cos (3 x)

Перепишите как

= cos (2 x + x)

Используйте тождество суммы углов:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (2 x) cos (x) - sin (2 x) sin (x)

Используйте тождество двойного угла:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

Упростить

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x) : cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x)

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Добавьте числа:

1 + 1 = 2

= 2 cos (x) sin^{2} (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

Используйте тождество двойного угла:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

Используйте основное тригонометрическое тождество (тождество Пифагора):

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

Расширить

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

= cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) - 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Расширить

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

Примените распределительный закон:

a (b - c) = ab - a c

a = cos (x), b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= cos (x) 2 cos^{2} (x) - cos (x) 1

= 2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

Упростить

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 \cdot cos (x) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

Добавьте числа:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

1 \cdot cos (x) = cos (x)

1 cos (x)

Умножьте:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

Расширить

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x)) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Примените распределительный закон:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2 cos (x), b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 2 cos (x) 1 - (- 2 cos (x)) cos^{2} (x)

Применение правил минус-плюс

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

Упростить

- 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

2 \cdot 1 \cdot cos (x) = 2 cos (x)

2 \cdot 1 cos (x)

Перемножьте числа:

2 \cdot 1 = 2

= 2 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

Добавьте числа:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

Упростить

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

Сгруппируйте похожие слагаемые

= 2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

Добавьте похожие элементы:

2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) = 4 cos^{3} (x)

= 4 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

Добавьте похожие элементы:

- cos (x) - 2 cos (x) = - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 16 + 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x) - 21 cos (x)

После упрощения получаем

= 16 + 4 cos^{3} (x) - 24 cos (x)

16 - 24 cos (x) + 4 cos^{3} (x) = 0

Решитe подстановкой

16 - 24 cos (x) + 4 cos^{3} (x) = 0

Допустим:

cos (x) = u

16 - 24 u + 4 u^{3} = 0

16 - 24 u + 4 u^{3} = 0 : u = 2, u = - 1 + 3, u = - 1 - 3

16 - 24 u + 4 u^{3} = 0

Запишите в стандартной форме

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

4 u^{3} - 24 u + 16 = 0

Найдите множитель

4 u^{3} - 24 u + 16 : 4 (u - 2) (u^{2} + 2 u - 2)

4 u^{3} - 24 u + 16

Убрать общее значение

4 : 4 (u^{3} - 6 u + 4)

4 u^{3} - 24 u + 16

Перепишите

16

как

4 \cdot 4

Перепишите

24

как

4 \cdot 6

= 4 u^{3} - 4 \cdot 6 u + 4 \cdot 4

Убрать общее значение

4

= 4 (u^{3} - 6 u + 4)

= 4 (u^{3} - 6 u + 4)

коэффициент

u^{3} - 6 u + 4 : (u - 2) (u^{2} + 2 u - 2)

u^{3} - 6 u + 4

Используйте теорему о рациональных корнях

a_{0} = 4, a_{n} = 1

Делители

a_{0} : 1, 2, 4,

Делители

a_{n} : 1

Поэтому проверьте следующие рациональные числа:

\pm \frac{1 , 2 , 4}{1}

\frac{2}{1}

является корнем выражения, поэтому вынесите из него

u - 2

= (u - 2) \frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2}

\frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2} = u^{2} + 2 u - 2

\frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2}

Поделите

\frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2} : \frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2} = u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2}

Разделите старшие коэффициенты числителя

u^{3} - 6 u + 4

и делителя

u - 2 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

Частное = u^{2}

Умножьте

u - 2

на

u^{2} : u^{3} - 2 u^{2}

Вычтите

u^{3} - 2 u^{2}

из

u^{3} - 6 u + 4

, чтобы получить новый остаток

Остаток = 2 u^{2} - 6 u + 4

Поэтому

\frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2} = u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2}

= u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2}

Поделите

\frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2} : \frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2} = 2 u + \frac{- 2 u + 4}{u - 2}

Разделите старшие коэффициенты числителя

2 u^{2} - 6 u + 4

и делителя

u - 2 : \frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

Частное = 2 u

Умножьте

u - 2

на

2 u : 2 u^{2} - 4 u

Вычтите

2 u^{2} - 4 u

из

2 u^{2} - 6 u + 4

, чтобы получить новый остаток

Остаток = - 2 u + 4

Поэтому

\frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2} = 2 u + \frac{- 2 u + 4}{u - 2}

= u^{2} + 2 u + \frac{- 2 u + 4}{u - 2}

Поделите

\frac{- 2 u + 4}{u - 2} : \frac{- 2 u + 4}{u - 2} = - 2

Разделите старшие коэффициенты числителя

- 2 u + 4

и делителя

u - 2 : \frac{- 2 u}{u} = - 2

Частное = - 2

Умножьте

u - 2

на

- 2 : - 2 u + 4

Вычтите

- 2 u + 4

из

- 2 u + 4

, чтобы получить новый остаток

Остаток = 0

Поэтому

\frac{- 2 u + 4}{u - 2} = - 2

= u^{2} + 2 u - 2

= u^{2} + 2 u - 2

= (u - 2) (u^{2} + 2 u - 2)

= 4 (u - 2) (u^{2} + 2 u - 2)

4 (u - 2) (u^{2} + 2 u - 2) = 0

Использование принципа нулевого множителя:

Если

ab = 0

то

a = 0

или

b = 0

u - 2 = 0 or u^{2} + 2 u - 2 = 0

Решить

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Переместите

2

вправо

u - 2 = 0

Добавьте

2

к обеим сторонам

u - 2 + 2 = 0 + 2

После упрощения получаем

u = 2

u = 2

Решить

u^{2} + 2 u - 2 = 0 : u = - 1 + 3, u = - 1 - 3

u^{2} + 2 u - 2 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

u^{2} + 2 u - 2 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = 1, b = 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 23

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Примените правило

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Перемножьте числа:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= 4 + 8

Добавьте числа:

4 + 8 = 12

= 12

Первичное разложение на множители

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

делится на

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

делится на

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

являеются простыми числами, поэтому дальнейшее разложение на множители невозможно

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Примените правило радикалов:

= 3 2^{2}

Примените правило радикалов:

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 3}{2 \cdot 1}

Разделите решения

u_{1} = \frac{- 2 + 2 3}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 3}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 2 + 2 3}{2 \cdot 1} : - 1 + 3

\frac{- 2 + 2 3}{2 \cdot 1}

Перемножьте числа:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 + 2 3}{2}

коэффициент

- 2 + 23 : 2 (- 1 + 3)

- 2 + 23

Перепишите как

= - 2 \cdot 1 + 23

Убрать общее значение

2

= 2 (- 1 + 3)

= \frac{2 ( - 1 + 3 )}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= - 1 + 3

u = \frac{- 2 - 2 3}{2 \cdot 1} : - 1 - 3

\frac{- 2 - 2 3}{2 \cdot 1}

Перемножьте числа:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 - 2 3}{2}

коэффициент

- 2 - 23 : - 2 (1 + 3)

- 2 - 23

Перепишите как

= - 2 \cdot 1 - 23

Убрать общее значение

2

= - 2 (1 + 3)

= - \frac{2 ( 1 + 3 )}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= - (1 + 3)

Отвергните

- (1 + 3) = - 1 - 3

= - 1 - 3

Решением квадратного уравнения являются:

u = - 1 + 3, u = - 1 - 3

Решениями являются

u = 2, u = - 1 + 3, u = - 1 - 3

Делаем обратную замену

u = cos (x)

cos (x) = 2, cos (x) = - 1 + 3, cos (x) = - 1 - 3

cos (x) = 2, cos (x) = - 1 + 3, cos (x) = - 1 - 3

cos (x) = 2 :

Не имеет решения

cos (x) = 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Не имеет решения

cos (x) = - 1 + 3 : x = arccos (- 1 + 3) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 3) + 2 πn

cos (x) = - 1 + 3

Примените обратные тригонометрические свойства

cos (x) = - 1 + 3

Общие решения для

cos (x) = - 1 + 3

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (- 1 + 3) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 3) + 2 πn

x = arccos (- 1 + 3) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 3) + 2 πn

cos (x) = - 1 - 3 :

Не имеет решения

cos (x) = - 1 - 3

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Не имеет решения

Объедините все решения

x = arccos (- 1 + 3) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 3) + 2 πn

Покажите решения в десятичной форме

x = 0.74946 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.74946 \dots + 2 πn

Решение

Решение

График

Популярные примеры