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2sin^2(x)+sin^3(x)-1=0

Solução

2 sin^{2} (x) + sin^{3} (x) - 1 = 0

Solução

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.66623 \dots + 2 πn, x = π - 0.66623 \dots + 2 πn

Graus

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 38.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 141.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

2 sin^{2} (x) + sin^{3} (x) - 1 = 0

Usando o método de substituição

2 sin^{2} (x) + sin^{3} (x) - 1 = 0

Sea:

sin (x) = u

2 u^{2} + u^{3} - 1 = 0

2 u^{2} + u^{3} - 1 = 0 : u = - 1, u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

2 u^{2} + u^{3} - 1 = 0

Escrever na forma padrão

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 0

Fatorar

u^{3} + 2 u^{2} - 1 : (u + 1) (u^{2} + u - 1)

u^{3} + 2 u^{2} - 1

Utilizar o teorema das raízes racionais

a_{0} = 1, a_{n} = 1

Os divisores de

a_{0} : 1,

Os divisores de

a_{n} : 1

Portanto, verificar os seguintes números racionais:

\pm \frac{1}{1}

- \frac{1}{1}

é a raiz da expressão, portanto, fatorar

u + 1

= (u + 1) \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1}

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1} = u^{2} + u - 1

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1}

Dividir

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1} : \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1} = u^{2} + \frac{u ^{2} - 1}{u + 1}

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

u^{3} + 2 u^{2} - 1

e o divisor

u + 1 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

Quociente = u^{2}

Multiplicar

u + 1

por

u^{2} : u^{3} + u^{2}

Subtrair

u^{3} + u^{2}

u^{3} + 2 u^{2} - 1

para obter um novo resto

Resto = u^{2} - 1

Portanto

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1} = u^{2} + \frac{u ^{2} - 1}{u + 1}

= u^{2} + \frac{u ^{2} - 1}{u + 1}

Dividir

\frac{u ^{2} - 1}{u + 1} : \frac{u ^{2} - 1}{u + 1} = u + \frac{- u - 1}{u + 1}

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

u^{2} - 1

e o divisor

u + 1 : \frac{u ^{2}}{u} = u

Quociente = u

Multiplicar

u + 1

por

u : u^{2} + u

Subtrair

u^{2} + u

u^{2} - 1

para obter um novo resto

Resto = - u - 1

Portanto

\frac{u ^{2} - 1}{u + 1} = u + \frac{- u - 1}{u + 1}

= u^{2} + u + \frac{- u - 1}{u + 1}

Dividir

\frac{- u - 1}{u + 1} : \frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

- u - 1

e o divisor

u + 1 : \frac{- u}{u} = - 1

Quociente = - 1

Multiplicar

u + 1

por

- 1 : - u - 1

Subtrair

- u - 1

- u - 1

para obter um novo resto

Resto = 0

Portanto

\frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

= u^{2} + u - 1

= (u + 1) (u^{2} + u - 1)

(u + 1) (u^{2} + u - 1) = 0

Usando o princípio do fator zero: Se

ab = 0

então

a = 0

b = 0

u + 1 = 0 or u^{2} + u - 1 = 0

Resolver

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

u + 1 = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

Resolver

u^{2} + u - 1 = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

u^{2} + u - 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

u^{2} + u - 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 1, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Somar:

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 \cdot 1}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 - 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

As soluções são

u = - 1, u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Soluções gerais para

sin (x) = - 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2} : x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Soluções gerais para

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2} :

Sem solução

sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.66623 \dots + 2 πn, x = π - 0.66623 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

2cos^2(x)=3cos(x)-1

2 cos^{2} (x) = 3 cos (x) - 1

sin^2(x)-4sin(x)+4=0

sin^{2} (x) - 4 sin (x) + 4 = 0

3cos^2(x)-10cos(x)+3=0

3 cos^{2} (x) - 10 cos (x) + 3 = 0

(m+1)sin(x)+2-m=0

(m + 1) sin (x) + 2 - m = 0

sin^5(x)+sin(x)+2sin^2(x)=1

sin^{5} (x) + sin (x) + 2 sin^{2} (x) = 1