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Popular Trigonometria >

arctan(1+x)+arctan(1-x)=arctan(1/2)

Solução

arctan (1 + x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{1}{2})

Solução

x = 2, x = - 2

Passos da solução

arctan (1 + x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{1}{2})

Reeecreva usando identidades trigonométricas

arctan (1 + x) + arctan (1 - x)

Use a identidade da transformação de soma em produto:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )})

arctan (\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )}) = arctan (\frac{1}{2})

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

arctan (\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )}) = arctan (\frac{1}{2})

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )} = tan (arctan (\frac{1}{2}))

tan (arctan (\frac{1}{2})) = \frac{1}{2}

tan (arctan (\frac{1}{2}))

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

tan (arctan (\frac{1}{2})) = \frac{1}{2}

Usar a seguinte identidade:

tan (arctan (x)) = x

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )} = \frac{1}{2}

\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )} = \frac{1}{2}

Resolver

\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )} = \frac{1}{2} : x = 2, x = - 2

\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )} = \frac{1}{2}

Utilizar multiplicação cruzada de frações (regra de três)

\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )} : \frac{2}{x ^{2}}

\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )}

1 + x + 1 - x = 2

1 + x + 1 - x

Agrupar termos semelhantes

= x - x + 1 + 1

Somar elementos similares:

x - x = 0

= 1 + 1

Somar:

1 + 1 = 2

= 2

= \frac{2}{1 - ( x + 1 ) ( - x + 1 )}

Expandir

1 - (1 + x) (1 - x) : x^{2}

1 - (1 + x) (1 - x)

Expandir

- (1 + x) (1 - x) : - 1 + x^{2}

Expandir

(1 + x) (1 - x) : 1 - x^{2}

(1 + x) (1 - x)

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = x

= 1^{2} - x^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - x^{2}

= - (1 - x^{2})

Colocar os parênteses

= - (1) - (- x^{2})

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + x^{2}

= 1 - 1 + x^{2}

1 - 1 = 0

= x^{2}

= \frac{2}{x ^{2}}

\frac{2}{x ^{2}} = \frac{1}{2}

Utilizar multiplicação cruzada de frações (regra de três): Se

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

então

a \cdot d = b \cdot c

2 \cdot 2 = x^{2} \cdot 1

Simplificar

2 \cdot 2 = x^{2} \cdot 1

Simplificar

2 \cdot 2 : 4

2 \cdot 2

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Simplificar

x^{2} \cdot 1 : x^{2}

x^{2} \cdot 1

Multiplicar:

x^{2} \cdot 1 = x^{2}

= x^{2}

4 = x^{2}

4 = x^{2}

4 = x^{2}

Resolver

4 = x^{2} : x = 2, x = - 2

4 = x^{2}

Trocar lados

x^{2} = 4

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

x = 4, x = - 4

4 = 2

4

Fatorar o número:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

- 4 = - 2

- 4

Fatorar o número:

4 = 2^{2}

= - 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = - 2

= - 2

x = 2, x = - 2

x = 2, x = - 2

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

x = 0

Tomar o(s) denominador(es) de

\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )}

e comparar com zero

Resolver

1 - (1 + x) (1 - x) = 0 : x = 0

1 - (1 + x) (1 - x) = 0

Expandir

1 - (1 + x) (1 - x) : x^{2}

1 - (1 + x) (1 - x)

Expandir

- (1 + x) (1 - x) : - 1 + x^{2}

Expandir

(1 + x) (1 - x) : 1 - x^{2}

(1 + x) (1 - x)

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = x

= 1^{2} - x^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - x^{2}

= - (1 - x^{2})

Colocar os parênteses

= - (1) - (- x^{2})

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + x^{2}

= 1 - 1 + x^{2}

1 - 1 = 0

= x^{2}

x^{2} = 0

Resolver com a fórmula quadrática

x^{2} = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 1, b = 0, c = 0

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0}{2 \cdot 1}

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0}{2 \cdot 1}

0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 0

0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0

Aplicar a regra

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 0 - 4 \cdot 1 \cdot 0

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0 - 0

Subtrair:

0 - 0 = 0

= 0

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0}{2 \cdot 1}

x = \frac{- 0}{2 \cdot 1}

\frac{- 0}{2 \cdot 1} = 0

\frac{- 0}{2 \cdot 1}

= \frac{0}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{2}

Aplicar a regra

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

x = 0

A solução para a equação de segundo grau é:

x = 0

Os seguintes pontos são indefinidos

x = 0

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

x = 2, x = - 2

x = 2, x = - 2

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

arctan (1 + x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{1}{2})

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

2 :

Verdadeiro

2

Inserir

n = 1

2

Para

arctan (1 + x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{1}{2})

inserir

x = 2

arctan (1 + 2) + arctan (1 - 2) = arctan (\frac{1}{2})

Simplificar

0.46364 \dots = 0.46364 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

- 2 :

Verdadeiro

- 2

Inserir

n = 1

- 2

Para

arctan (1 + x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{1}{2})

inserir

x = - 2

arctan (1 - 2) + arctan (1 - (- 2)) = arctan (\frac{1}{2})

Simplificar

0.46364 \dots = 0.46364 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

x = 2, x = - 2

Gráfico

Exemplos populares

-4cos^2(x)=0

- 4 cos^{2} (x) = 0

sin^2(x)-4sin^2(x)+7cos^2(x)=0

sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) + 7 cos^{2} (x) = 0

(sin(x))(cos(x))=0

(sin (x)) (cos (x)) = 0

sin^2(x)-15sin(x)cos(x)+50cos^2(x)=0

sin^{2} (x) - 15 sin (x) cos (x) + 50 cos^{2} (x) = 0

cot(x)=sin^2(x)

cot (x) = sin^{2} (x)