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Popolare Trigonometria >

sin^5(a)=16sin^5(a)-20sin^3(a)+5sin(a)

Soluzione

sin^{5} (a) = 16 sin^{5} (a) - 20 sin^{3} (a) + 5 sin (a)

Soluzione

a = 2 πn, a = π + 2 πn, a = - 0.61547 \dots + 2 πn, a = π + 0.61547 \dots + 2 πn, a = 0.61547 \dots + 2 πn, a = π - 0.61547 \dots + 2 πn, a = \frac{3 π}{2} + 2 πn, a = \frac{π}{2} + 2 πn

Gradi

a = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = - 35.26438 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 215.26438 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 35.26438 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 144.73561 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

sin^{5} (a) = 16 sin^{5} (a) - 20 sin^{3} (a) + 5 sin (a)

Risolvi per sostituzione

sin^{5} (a) = 16 sin^{5} (a) - 20 sin^{3} (a) + 5 sin (a)

Sia:

sin (a) = u

u^{5} = 16 u^{5} - 20 u^{3} + 5 u

u^{5} = 16 u^{5} - 20 u^{3} + 5 u : u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}, u = - 1, u = 1

u^{5} = 16 u^{5} - 20 u^{3} + 5 u

Scambia i lati

16 u^{5} - 20 u^{3} + 5 u = u^{5}

Spostare

u^{5}

a sinistra dell'equazione

16 u^{5} - 20 u^{3} + 5 u = u^{5}

Sottrarre

u^{5}

da entrambi i lati

16 u^{5} - 20 u^{3} + 5 u - u^{5} = u^{5} - u^{5}

Semplificare

15 u^{5} - 20 u^{3} + 5 u = 0

15 u^{5} - 20 u^{3} + 5 u = 0

Fattorizza

15 u^{5} - 20 u^{3} + 5 u : 5 u (3 u + 1) (3 u - 1) (u + 1) (u - 1)

15 u^{5} - 20 u^{3} + 5 u

Fattorizzare dal termine comune

5 u : 5 u (3 u^{4} - 4 u^{2} + 1)

15 u^{5} - 20 u^{3} + 5 u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= 15 u^{4} u - 20 u^{2} u + 5 u

Riscrivi

20

come

5 \cdot 4

Riscrivi

15

come

5 \cdot 3

= 5 \cdot 3 u^{4} u - 5 \cdot 4 u^{2} u + 5 u

Fattorizzare dal termine comune

5 u

= 5 u (3 u^{4} - 4 u^{2} + 1)

= 5 u (3 u^{4} - 4 u^{2} + 1)

Fattorizza

3 u^{4} - 4 u^{2} + 1 : (3 u + 1) (3 u - 1) (u + 1) (u - 1)

3 u^{4} - 4 u^{2} + 1

Lasciare

u = u^{2}

= 3 u^{2} - 4 u + 1

Fattorizza

3 u^{2} - 4 u + 1 : (3 u - 1) (u - 1)

3 u^{2} - 4 u + 1

Suddividere l'espressione in gruppi

3 u^{2} - 4 u + 1

Definizione

Fattori di

3 : 1, 3

3

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

3 : 3

3

3

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 3

Aggiungi 1

1

I fattori di

3

1, 3

Fattori negativi di

3 : - 1, - 3

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 3

Per ogni due fattori tali che

u * v = 3,

controllare se

u + v = - 4

Verifica

u = 1, v = 3 : u * v = 3, u + v = 4 \Rightarrow

FalsoVerifica

u = - 1, v = - 3 : u * v = 3, u + v = - 4 \Rightarrow

Vero

u = - 1, v = - 3

Raggruppa in

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(3 u^{2} - u) + (- 3 u + 1)

= (3 u^{2} - u) + (- 3 u + 1)

Fattorizza

u

3 u^{2} - u : u (3 u - 1)

3 u^{2} - u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 3 uu - u

Fattorizzare dal termine comune

u

= u (3 u - 1)

Fattorizza

- 1

- 3 u + 1 : - (3 u - 1)

- 3 u + 1

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (3 u - 1)

= u (3 u - 1) - (3 u - 1)

Fattorizzare dal termine comune

3 u - 1

= (3 u - 1) (u - 1)

= (3 u - 1) (u - 1)

Sostituire indietro

u = u^{2}

= (u^{2} - 1) (3 u^{2} - 1)

Fattorizza

3 u^{2} - 1 : (3 u + 1) (3 u - 1)

3 u^{2} - 1

Riscrivi

3 u^{2} - 1

come

(3 u)^{2} - 1^{2}

3 u^{2} - 1

Applicare la regola della radice:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 1^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(3)^{2} u^{2} = (3 u)^{2}

= (3 u)^{2} - 1^{2}

= (3 u)^{2} - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(3 u)^{2} - 1^{2} = (3 u + 1) (3 u - 1)

= (3 u + 1) (3 u - 1)

= (3 u + 1) (3 u - 1) (u^{2} - 1)

Fattorizza

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= (3 u + 1) (3 u - 1) (u + 1) (u - 1)

= 5 u (3 u + 1) (3 u - 1) (u + 1) (u - 1)

5 u (3 u + 1) (3 u - 1) (u + 1) (u - 1) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

u = 0 or 3 u + 1 = 0 or 3 u - 1 = 0 or u + 1 = 0 or u - 1 = 0

Risolvi

3 u + 1 = 0 : u = - \frac{3}{3}

3 u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

3 u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

3 u = - 1

3 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Cancella il fattore comune:

3

= u

Semplificare

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Razionalizzare

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Applicare la regola della radice:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

Risolvi

3 u - 1 = 0 : u = \frac{3}{3}

3 u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

3 u = 1

3 u = 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 u = 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Cancella il fattore comune:

3

= u

Semplificare

\frac{1}{3} : \frac{3}{3}

\frac{1}{3}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Applicare la regola della radice:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

Risolvi

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

u = - 1

u = - 1

Risolvi

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

Le soluzioni sono

u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}, u = - 1, u = 1

Sostituire indietro

u = sin (a)

sin (a) = 0, sin (a) = - \frac{3}{3}, sin (a) = \frac{3}{3}, sin (a) = - 1, sin (a) = 1

sin (a) = 0, sin (a) = - \frac{3}{3}, sin (a) = \frac{3}{3}, sin (a) = - 1, sin (a) = 1

sin (a) = 0 : a = 2 πn, a = π + 2 πn

sin (a) = 0

Soluzioni generali per

sin (a) = 0

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

a = 0 + 2 πn, a = π + 2 πn

a = 0 + 2 πn, a = π + 2 πn

Risolvi

a = 0 + 2 πn : a = 2 πn

a = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

a = 2 πn

a = 2 πn, a = π + 2 πn

sin (a) = - \frac{3}{3} : a = arcsin (- \frac{3}{3}) + 2 πn, a = π + arcsin (\frac{3}{3}) + 2 πn

sin (a) = - \frac{3}{3}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

sin (a) = - \frac{3}{3}

Soluzioni generali per

sin (a) = - \frac{3}{3}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

a = arcsin (- \frac{3}{3}) + 2 πn, a = π + arcsin (\frac{3}{3}) + 2 πn

a = arcsin (- \frac{3}{3}) + 2 πn, a = π + arcsin (\frac{3}{3}) + 2 πn

sin (a) = \frac{3}{3} : a = arcsin (\frac{3}{3}) + 2 πn, a = π - arcsin (\frac{3}{3}) + 2 πn

sin (a) = \frac{3}{3}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

sin (a) = \frac{3}{3}

Soluzioni generali per

sin (a) = \frac{3}{3}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

a = arcsin (\frac{3}{3}) + 2 πn, a = π - arcsin (\frac{3}{3}) + 2 πn

a = arcsin (\frac{3}{3}) + 2 πn, a = π - arcsin (\frac{3}{3}) + 2 πn

sin (a) = - 1 : a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (a) = - 1

Soluzioni generali per

sin (a) = - 1

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (a) = 1 : a = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (a) = 1

Soluzioni generali per

sin (a) = 1

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

a = \frac{π}{2} + 2 πn

a = \frac{π}{2} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

a = 2 πn, a = π + 2 πn, a = arcsin (- \frac{3}{3}) + 2 πn, a = π + arcsin (\frac{3}{3}) + 2 πn, a = arcsin (\frac{3}{3}) + 2 πn, a = π - arcsin (\frac{3}{3}) + 2 πn, a = \frac{3 π}{2} + 2 πn, a = \frac{π}{2} + 2 πn

Mostra le soluzioni in forma decimale

a = 2 πn, a = π + 2 πn, a = - 0.61547 \dots + 2 πn, a = π + 0.61547 \dots + 2 πn, a = 0.61547 \dots + 2 πn, a = π - 0.61547 \dots + 2 πn, a = \frac{3 π}{2} + 2 πn, a = \frac{π}{2} + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

tan(b)= 1/2

cos^2(x)-cos(x)+1=sin^2(x)

sin^{22}(x)=4sin^2(x)cos^2(x)

sin(x)=(4.1)/(7.1)

(1+cos^2(a))sin^2(a)=1