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Beliebt Trigonometrie >

6cos^3(x)+cos^2(x)-1=0

Lösung

6 cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 0

Lösung

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

6 cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 0

Löse mit Substitution

6 cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 0

Angenommen:

cos (x) = u

6 u^{3} + u^{2} - 1 = 0

6 u^{3} + u^{2} - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

6 u^{3} + u^{2} - 1 = 0

Faktorisiere

6 u^{3} + u^{2} - 1 : (2 u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1)

6 u^{3} + u^{2} - 1

Wende den rationalen Nullstellentest an

a_{0} = 1, a_{n} = 6

Die Teiler von

a_{0} : 1,

Die Teiler von

a_{n} : 1, 2, 3, 6

Deshalb, überprüfe die folgenden rationalen Zahlen:

\pm \frac{1}{1 , 2 , 3 , 6}

\frac{1}{2}

ist eine Wurzel des Ausdrucks, deshalb klammere aus

2 u - 1

= (2 u - 1) \frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1}

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 3 u^{2} + 2 u + 1

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1}

Dividiere

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1} : \frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 3 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

6 u^{3} + u^{2} - 1

und des Teilers

2 u - 1 : \frac{6 u ^{3}}{2 u} = 3 u^{2}

Quotient = 3 u^{2}

Multipliziere

2 u - 1

mit

3 u^{2} : 6 u^{3} - 3 u^{2}

Substrahiere

6 u^{3} - 3 u^{2}

von

6 u^{3} + u^{2} - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 4 u^{2} - 1

Deshalb

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 3 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

= 3 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

Dividiere

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1} : \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 2 u + \frac{2 u - 1}{2 u - 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

4 u^{2} - 1

und des Teilers

2 u - 1 : \frac{4 u ^{2}}{2 u} = 2 u

Quotient = 2 u

Multipliziere

2 u - 1

mit

2 u : 4 u^{2} - 2 u

Substrahiere

4 u^{2} - 2 u

von

4 u^{2} - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 2 u - 1

Deshalb

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 2 u + \frac{2 u - 1}{2 u - 1}

= 3 u^{2} + 2 u + \frac{2 u - 1}{2 u - 1}

Dividiere

\frac{2 u - 1}{2 u - 1} : \frac{2 u - 1}{2 u - 1} = 1

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

2 u - 1

und des Teilers

2 u - 1 : \frac{2 u}{2 u} = 1

Quotient = 1

Multipliziere

2 u - 1

mit

1 : 2 u - 1

Substrahiere

2 u - 1

von

2 u - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 0

Deshalb

\frac{2 u - 1}{2 u - 1} = 1

= 3 u^{2} + 2 u + 1

= (2 u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1)

(2 u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

2 u - 1 = 0 or 3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Löse

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 u = 1

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

Löse

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 3, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 3}

Vereinfache

2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 : 22 i

2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 1 = 12

= 2^{2} - 12

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- a = i a

= i 12 - 2^{2}

- 2^{2} + 12 = 22

- 2^{2} + 12

2^{2} = 4

= - 4 + 12

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 12 = 8

= 8

Primfaktorzerlegung von

8 : 2^{3}

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

= 22 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 2 i}{2 \cdot 3}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3}

u = \frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3} : - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}

\frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2 + 2 2 i}{6}

Faktorisiere

- 2 + 22 i : 2 (- 1 + 2 i)

- 2 + 22 i

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 22 i

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + 2 i)

= \frac{2 ( - 1 + 2 i )}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 1 + 2 i}{3}

Schreibe

\frac{- 1 + 2 i}{3}

in der Standard komplexen Form um:

- \frac{1}{3} + \frac{2}{3} i

\frac{- 1 + 2 i}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + 2 i}{3} = - \frac{1}{3} + \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} + \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} i

u = \frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3} : - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

\frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2 - 2 2 i}{6}

Faktorisiere

- 2 - 22 i : - 2 (1 + 2 i)

- 2 - 22 i

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 - 22 i

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (1 + 2 i)

= - \frac{2 ( 1 + 2 i )}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1 + 2 i}{3}

Schreibe

- \frac{1 + 2 i}{3}

in der Standard komplexen Form um:

- \frac{1}{3} - \frac{2}{3} i

- \frac{1 + 2 i}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + 2 i}{3} = - (\frac{1}{3}) - (\frac{2 i}{3})

= - (\frac{1}{3}) - (\frac{2 i}{3})

Entferne die Klammern:

(a) = a

= - \frac{1}{3} - \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} - \frac{2}{3} i

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

Die Lösungen sind

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, cos (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, cos (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3} :

Keine Lösung

cos (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3} :

Keine Lösung

cos (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

4tan^2(x)+12tan(x)-27=0

4 tan^{2} (x) + 12 tan (x) - 27 = 0

sin^2(x)-cos(x)= 1/4

sin^{2} (x) - cos (x) = \frac{1}{4}

cos^4(a)=3+4cos^2(a)+cos^4(a)

cos^{4} (a) = 3 + 4 cos^{2} (a) + cos^{4} (a)

cos^4(t)=1

cos^{4} (t) = 1

8cos^2(x)-12sin(x)-12=0

8 cos^{2} (x) - 12 sin (x) - 12 = 0