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Beliebt Trigonometrie >

e^{cos(x)}sin^2(x)-e^{cos(x)}cos(x)=0

Lösung

e^{c o s (x)} sin^{2} (x) - e^{c o s (x)} cos (x) = 0

Lösung

x = 0.90455 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.90455 \dots + 2 πn

Grad

x = 51.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 308.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

e^{c o s (x)} sin^{2} (x) - e^{c o s (x)} cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- cos (x) e^{c o s (x)} + sin^{2} (x) e^{c o s (x)}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - cos (x) e^{c o s (x)} + (1 - cos^{2} (x)) e^{c o s (x)}

(1 - cos^{2} (x)) e^{c o s (x)} - cos (x) e^{c o s (x)} = 0

Löse mit Substitution

(1 - cos^{2} (x)) e^{c o s (x)} - cos (x) e^{c o s (x)} = 0

Angenommen:

cos (x) = u

(1 - u^{2}) e^{u} - u e^{u} = 0

(1 - u^{2}) e^{u} - u e^{u} = 0 : u = - \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{5 - 1}{2}

(1 - u^{2}) e^{u} - u e^{u} = 0

Faktorisiere

e^{u} (- u^{2} + 1 - u) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

e^{u} = 0 or - u^{2} + 1 - u = 0

Löse

e^{u} = 0 :

Keine Lösung für

u \in R

e^{u} = 0

a^{f (u)}

darf nicht null oder negativ sein

u \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r u \in R

Löse

- u^{2} + 1 - u = 0 : u = - \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{5 - 1}{2}

- u^{2} + 1 - u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} - u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = - 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 5

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4

= 1 + 4

Addiere die Zahlen:

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 5}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 ( - 1 )} : - \frac{1 + 5}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 5}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 5}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 + 5}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1 + 5}{2}

u = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 ( - 1 )} : \frac{5 - 1}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 5}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 5}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 - 5}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

1 - 5 = - (5 - 1)

= \frac{5 - 1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{5 - 1}{2}

u = - \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{5 - 1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{5 - 1}{2}

cos (x) = - \frac{1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{5 - 1}{2}

cos (x) = - \frac{1 + 5}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = - \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = \frac{5 - 1}{2} : x = arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{5 - 1}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{5 - 1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{5 - 1}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.90455 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.90455 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2cot(x)+tan(x)=-2

sin(x)-sqrt(3)=0

2tan(4x)=1

cos(θ)=(5713634.83)/((2236)(3733))

sin(x)= 3/(sqrt(58))