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Popolare Trigonometria >

cos(2x)-sin^2(x)-1/4 =0

Soluzione

cos (2 x) - sin^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0

Soluzione

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Gradi

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

cos (2 x) - sin^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0

Semplifica

cos (2 x) - sin^{2} (x) - \frac{1}{4} : \frac{4 cos ( 2 x ) - 4 sin ^{2} ( x ) - 1}{4}

cos (2 x) - sin^{2} (x) - \frac{1}{4}

Converti l'elemento in frazione:

cos (2 x) = \frac{cos ( 2 x ) 4}{4}, sin^{2} (x) = \frac{sin ^{2} ( x ) 4}{4}

= \frac{cos ( 2 x ) \cdot 4}{4} - \frac{sin ^{2} ( x ) \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( 2 x ) \cdot 4 - sin ^{2} ( x ) \cdot 4 - 1}{4}

\frac{4 cos ( 2 x ) - 4 sin ^{2} ( x ) - 1}{4} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 cos (2 x) - 4 sin^{2} (x) - 1 = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 1 + 4 cos (2 x) - 4 sin^{2} (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 + 4 (1 - 2 sin^{2} (x)) - 4 sin^{2} (x)

Semplificare

- 1 + 4 (1 - 2 sin^{2} (x)) - 4 sin^{2} (x) : - 12 sin^{2} (x) + 3

- 1 + 4 (1 - 2 sin^{2} (x)) - 4 sin^{2} (x)

Espandi

4 (1 - 2 sin^{2} (x)) : 4 - 8 sin^{2} (x)

4 (1 - 2 sin^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = 2 sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 \cdot 2 sin^{2} (x)

Semplifica

4 \cdot 1 - 4 \cdot 2 sin^{2} (x) : 4 - 8 sin^{2} (x)

4 \cdot 1 - 4 \cdot 2 sin^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 \cdot 2 sin^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 2 = 8

= 4 - 8 sin^{2} (x)

= 4 - 8 sin^{2} (x)

= - 1 + 4 - 8 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x)

Semplifica

- 1 + 4 - 8 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) : - 12 sin^{2} (x) + 3

- 1 + 4 - 8 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x)

Aggiungi elementi simili:

- 8 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) = - 12 sin^{2} (x)

= - 1 + 4 - 12 sin^{2} (x)

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 1 + 4 = 3

= - 12 sin^{2} (x) + 3

= - 12 sin^{2} (x) + 3

= - 12 sin^{2} (x) + 3

3 - 12 sin^{2} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

3 - 12 sin^{2} (x) = 0

Sia:

sin (x) = u

3 - 12 u^{2} = 0

3 - 12 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

3 - 12 u^{2} = 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

3 - 12 u^{2} = 0

Sottrarre

3

da entrambi i lati

3 - 12 u^{2} - 3 = 0 - 3

Semplificare

- 12 u^{2} = - 3

- 12 u^{2} = - 3

Dividere entrambi i lati per

- 12

- 12 u^{2} = - 3

Dividere entrambi i lati per

- 12

\frac{- 12 u ^{2}}{- 12} = \frac{- 3}{- 12}

Semplificare

\frac{- 12 u ^{2}}{- 12} = \frac{- 3}{- 12}

Semplificare

\frac{- 12 u ^{2}}{- 12} : u^{2}

\frac{- 12 u ^{2}}{- 12}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{12 u ^{2}}{12}

Dividi i numeri:

\frac{12}{12} = 1

= u^{2}

Semplificare

\frac{- 3}{- 12} : \frac{1}{4}

\frac{- 3}{- 12}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{3}{12}

Cancella il fattore comune:

3

= \frac{1}{4}

u^{2} = \frac{1}{4}

u^{2} = \frac{1}{4}

u^{2} = \frac{1}{4}

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{4}, u = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Applicare la regola della radice:

assumendo

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Fattorizzare il numero:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Applicare la regola della radice:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Applicare la regola

1 = 1

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

Semplifica

\frac{1}{4} : \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Applicare la regola della radice:

assumendo

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Fattorizzare il numero:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Applicare la regola della radice:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2}

Applicare la regola

1 = 1

= - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Grafico

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