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Beliebt Trigonometrie >

2cos(2x)-cos(x)-1=0

Lösung

2 cos (2 x) - cos (x) - 1 = 0

Lösung

x = 2 πn, x = 2.41885 \dots + 2 πn, x = - 2.41885 \dots + 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 138.59037 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 138.59037 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos (2 x) - cos (x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - cos (x) + 2 cos (2 x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 1 - cos (x) + 2 (2 cos^{2} (x) - 1)

Vereinfache

- 1 - cos (x) + 2 (2 cos^{2} (x) - 1) : 4 cos^{2} (x) - cos (x) - 3

- 1 - cos (x) + 2 (2 cos^{2} (x) - 1)

Multipliziere aus

2 (2 cos^{2} (x) - 1) : 4 cos^{2} (x) - 2

2 (2 cos^{2} (x) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= 2 \cdot 2 cos^{2} (x) - 2 \cdot 1

Vereinfache

2 \cdot 2 cos^{2} (x) - 2 \cdot 1 : 4 cos^{2} (x) - 2

2 \cdot 2 cos^{2} (x) - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 cos^{2} (x) - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 4 cos^{2} (x) - 2

= 4 cos^{2} (x) - 2

= - 1 - cos (x) + 4 cos^{2} (x) - 2

Vereinfache

- 1 - cos (x) + 4 cos^{2} (x) - 2 : 4 cos^{2} (x) - cos (x) - 3

- 1 - cos (x) + 4 cos^{2} (x) - 2

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos (x) + 4 cos^{2} (x) - 1 - 2

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 2 = - 3

= 4 cos^{2} (x) - cos (x) - 3

= 4 cos^{2} (x) - cos (x) - 3

= 4 cos^{2} (x) - cos (x) - 3

- 3 - cos (x) + 4 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 3 - cos (x) + 4 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 3 - u + 4 u^{2} = 0

- 3 - u + 4 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{3}{4}

- 3 - u + 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - u - 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} - u - 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = - 1, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 3 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 3 )}{2 \cdot 4}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 4 (- 3) = 7

(- 1)^{2} - 4 \cdot 4 (- 3)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 3

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 4 \cdot 3 = 48

4 \cdot 4 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 3 = 48

= 48

= 1 + 48

Addiere die Zahlen:

1 + 48 = 49

= 49

Faktorisiere die Zahl:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 7}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 4} : 1

\frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 7}{2 \cdot 4}

Addiere die Zahlen:

1 + 7 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{8}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 4} : - \frac{3}{4}

\frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 7}{2 \cdot 4}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 7 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 6}{8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{3}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = - \frac{3}{4}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{3}{4}

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{3}{4}

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{4} : x = arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{3}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{3}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2 πn, x = 2.41885 \dots + 2 πn, x = - 2.41885 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(x)*tan(2x)=1

tan (x) \cdot tan (2 x) = 1

cos(x)cot(x)-3(1-sin(x))=0

cos (x) cot (x) - 3 (1 - sin (x)) = 0

18= 1/2*9*5*sin(θ)

18 = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 5 \cdot sin (θ)

sqrt(2)cos^2(x)=cos^2(x)

2 cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

sin((pix)/2)=0

sin (\frac{π x}{2}) = 0