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Beliebt Trigonometrie >

6-9sin(θ)-4cos^2(θ)=0

Lösung

6 - 9 sin (θ) - 4 cos^{2} (θ) = 0

Lösung

θ = 0.25268 \dots + 2 πn, θ = π - 0.25268 \dots + 2 πn

Grad

θ = 14.47751 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 165.52248 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

6 - 9 sin (θ) - 4 cos^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

6 - 4 cos^{2} (θ) - 9 sin (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 6 - 4 (1 - sin^{2} (θ)) - 9 sin (θ)

Vereinfache

6 - 4 (1 - sin^{2} (θ)) - 9 sin (θ) : 4 sin^{2} (θ) - 9 sin (θ) + 2

6 - 4 (1 - sin^{2} (θ)) - 9 sin (θ)

Multipliziere aus

- 4 (1 - sin^{2} (θ)) : - 4 + 4 sin^{2} (θ)

- 4 (1 - sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= - 4 \cdot 1 - (- 4) sin^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 4 \cdot 1 + 4 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 sin^{2} (θ)

= 6 - 4 + 4 sin^{2} (θ) - 9 sin (θ)

Subtrahiere die Zahlen:

6 - 4 = 2

= 4 sin^{2} (θ) - 9 sin (θ) + 2

= 4 sin^{2} (θ) - 9 sin (θ) + 2

2 + 4 sin^{2} (θ) - 9 sin (θ) = 0

Löse mit Substitution

2 + 4 sin^{2} (θ) - 9 sin (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

2 + 4 u^{2} - 9 u = 0

2 + 4 u^{2} - 9 u = 0 : u = 2, u = \frac{1}{4}

2 + 4 u^{2} - 9 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 9 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} - 9 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = - 9, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm ( - 9 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm ( - 9 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2}{2 \cdot 4}

(- 9)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 7

(- 9)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 9)^{2} = 9^{2}

= 9^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 9^{2} - 32

9^{2} = 81

= 81 - 32

Subtrahiere die Zahlen:

81 - 32 = 49

= 49

Faktorisiere die Zahl:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm 7}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 9 ) + 7}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 9 ) - 7}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 9 ) + 7}{2 \cdot 4} : 2

\frac{- ( - 9 ) + 7}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{9 + 7}{2 \cdot 4}

Addiere die Zahlen:

9 + 7 = 16

= \frac{16}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{16}{8}

Teile die Zahlen:

\frac{16}{8} = 2

= 2

u = \frac{- ( - 9 ) - 7}{2 \cdot 4} : \frac{1}{4}

\frac{- ( - 9 ) - 7}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{9 - 7}{2 \cdot 4}

Subtrahiere die Zahlen:

9 - 7 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 2, u = \frac{1}{4}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = 2, sin (θ) = \frac{1}{4}

sin (θ) = 2, sin (θ) = \frac{1}{4}

sin (θ) = 2 :

Keine Lösung

sin (θ) = 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (θ) = \frac{1}{4} : θ = arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = \frac{1}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{1}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 0.25268 \dots + 2 πn, θ = π - 0.25268 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2cos^2(x)-1cos(x)=0

2 cos^{2} (x) - 1 cos (x) = 0

sec(x)=-1.5

sec (x) = - 1.5

sin(x)+2=-csc(x)

sin (x) + 2 = - csc (x)

cos(a)= 9/14

cos (a) = \frac{9}{14}

pi/2 =2sin(x)

\frac{π}{2} = 2 sin (x)