English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

(tan(x)-sec(x))^2=3

Решение

(tan (x) - sec (x))^{2} = 3

Решение

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Градусы

x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Шаги решения

(tan (x) - sec (x))^{2} = 3

Вычтите

3

с обеих сторон

(tan (x) - sec (x))^{2} - 3 = 0

Выразите с помощью синуса (sin), косинуса (cos)

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )})^{2} - 3 = 0

Упростить

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )})^{2} - 3 : \frac{( sin ( x ) - 1 ) ^{2} - 3 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )})^{2} - 3

Сложите дроби

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )} : \frac{sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

Примените правило

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

= (\frac{sin ( x ) - 1}{cos ( x )})^{2} - 3

Примените правило возведения в степень:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( sin ( x ) - 1 ) ^{2}}{cos ^{2} ( x )} - 3

Преобразуйте элемент в дробь:

3 = \frac{3 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{( sin ( x ) - 1 ) ^{2}}{cos ^{2} ( x )} - \frac{3 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( sin ( x ) - 1 ) ^{2} - 3 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

\frac{( sin ( x ) - 1 ) ^{2} - 3 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

(sin (x) - 1)^{2} - 3 cos^{2} (x) = 0

Добавьте

3 cos^{2} (x)

к обеим сторонам

sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 = 3 cos^{2} (x)

Возведите в квадрат обе части

(sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} = (3 cos^{2} (x))^{2}

Вычтите

(3 cos^{2} (x))^{2}

с обеих сторон

(sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - 9 cos^{4} (x) = 0

коэффициент

(sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - 9 cos^{4} (x) : (sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 + 3 cos^{2} (x)) (sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 - 3 cos^{2} (x))

(sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - 9 cos^{4} (x)

Перепишите

(sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - 9 cos^{4} (x)

как

(sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - (3 cos^{2} (x))^{2}

(sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - 9 cos^{4} (x)

Перепишите

9

как

3^{2}

= (sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - 3^{2} cos^{4} (x)

Примените правило возведения в степень:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

cos^{4} (x) = (cos^{2} (x))^{2}

= (sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - 3^{2} (cos^{2} (x))^{2}

Примените правило возведения в степень:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

3^{2} (cos^{2} (x))^{2} = (3 cos^{2} (x))^{2}

= (sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - (3 cos^{2} (x))^{2}

= (sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - (3 cos^{2} (x))^{2}

Примените формулу разности двух квадратов:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)^{2} - (3 cos^{2} (x))^{2} = ((sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1) + 3 cos^{2} (x)) ((sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1) - 3 cos^{2} (x))

= ((sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1) + 3 cos^{2} (x)) ((sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1) - 3 cos^{2} (x))

Уточнить

= (sin^{2} (x) + 3 cos^{2} (x) - 2 sin (x) + 1) (sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) - 2 sin (x) + 1)

(sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 + 3 cos^{2} (x)) (sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 - 3 cos^{2} (x)) = 0

Произведите отдельное решение для каждой части

sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 + 3 cos^{2} (x) = 0 or sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 - 3 cos^{2} (x) = 0

sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 + 3 cos^{2} (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 + 3 cos^{2} (x) = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 cos^{2} (x)

Используйте основное тригонометрическое тождество (тождество Пифагора):

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 (1 - sin^{2} (x))

Упростите

1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 (1 - sin^{2} (x)) : - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4

1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 (1 - sin^{2} (x))

Расширить

3 (1 - sin^{2} (x)) : 3 - 3 sin^{2} (x)

3 (1 - sin^{2} (x))

Примените распределительный закон:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 3 \cdot 1 - 3 sin^{2} (x)

Перемножьте числа:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 sin^{2} (x)

= 1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 - 3 sin^{2} (x)

Упростить

1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 - 3 sin^{2} (x) : - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4

1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 - 3 sin^{2} (x)

Сгруппируйте похожие слагаемые

= sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3 sin^{2} (x) + 1 + 3

Добавьте похожие элементы:

sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) = - 2 sin^{2} (x)

= - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 + 3

Добавьте числа:

1 + 3 = 4

= - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4

= - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4

= - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4

4 - 2 sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Решитe подстановкой

4 - 2 sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Допустим:

sin (x) = u

4 - 2 u - 2 u^{2} = 0

4 - 2 u - 2 u^{2} = 0 : u = - 2, u = 1

4 - 2 u - 2 u^{2} = 0

Запишите в стандартной форме

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - 2 u + 4 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

- 2 u^{2} - 2 u + 4 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = - 2, b = - 2, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 4}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 4}{2 ( - 2 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 4 = 6

(- 2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 4

Примените правило

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 4

Примените правило возведения в степень:

(- a)^{n} = a^{n},

если

n

четное

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 4

Перемножьте числа:

4 \cdot 2 \cdot 4 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Добавьте числа:

4 + 32 = 36

= 36

Разложите число:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Примените правило радикалов:

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 6}{2 ( - 2 )}

Разделите решения

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 2 )} : - 2

\frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 2 )}

Уберите скобки:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 6}{- 2 \cdot 2}

Добавьте числа:

2 + 6 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 2}

Перемножьте числа:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{8}{- 4}

Примените правило дробей:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{4}

Разделите числа:

\frac{8}{4} = 2

= - 2

u = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 2 )} : 1

\frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 2 )}

Уберите скобки:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 6}{- 2 \cdot 2}

Вычтите числа:

2 - 6 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 2}

Перемножьте числа:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{- 4}

Примените правило дробей:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{4}

Примените правило

\frac{a}{a} = 1

= 1

Решением квадратного уравнения являются:

u = - 2, u = 1

Делаем обратную замену

u = sin (x)

sin (x) = - 2, sin (x) = 1

sin (x) = - 2, sin (x) = 1

sin (x) = - 2 :

Не имеет решения

sin (x) = - 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Не имеет решения

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Общие решения для

sin (x) = 1

sin (x)

таблица периодичности с циклом

2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Объедините все решения

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 - 3 cos^{2} (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 - 3 cos^{2} (x) = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3 cos^{2} (x)

Используйте основное тригонометрическое тождество (тождество Пифагора):

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3 (1 - sin^{2} (x))

Упростите

1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3 (1 - sin^{2} (x)) : 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 2

1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3 (1 - sin^{2} (x))

Расширить

- 3 (1 - sin^{2} (x)) : - 3 + 3 sin^{2} (x)

- 3 (1 - sin^{2} (x))

Примените распределительный закон:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) sin^{2} (x)

Применение правил минус-плюс

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 sin^{2} (x)

Перемножьте числа:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 sin^{2} (x)

= 1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3 + 3 sin^{2} (x)

Упростить

1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3 + 3 sin^{2} (x) : 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 2

1 + sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3 + 3 sin^{2} (x)

Сгруппируйте похожие слагаемые

= sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 sin^{2} (x) + 1 - 3

Добавьте похожие элементы:

sin^{2} (x) + 3 sin^{2} (x) = 4 sin^{2} (x)

= 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 - 3

Прибавьте/Вычтите числа:

1 - 3 = - 2

= 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 2

= 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 2

= 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 2

- 2 - 2 sin (x) + 4 sin^{2} (x) = 0

Решитe подстановкой

- 2 - 2 sin (x) + 4 sin^{2} (x) = 0

Допустим:

sin (x) = u

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0

Запишите в стандартной форме

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 2 u - 2 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

4 u^{2} - 2 u - 2 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = 4, b = - 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 6

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

Примените правило

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Примените правило возведения в степень:

(- a)^{n} = a^{n},

если

n

четное

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Перемножьте числа:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Добавьте числа:

4 + 32 = 36

= 36

Разложите число:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Примените правило радикалов:

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 6}{2 \cdot 4}

Разделите решения

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4}

Примените правило

- (- a) = a

= \frac{2 + 6}{2 \cdot 4}

Добавьте числа:

2 + 6 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 4}

Перемножьте числа:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{8}

Примените правило

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4}

Примените правило

- (- a) = a

= \frac{2 - 6}{2 \cdot 4}

Вычтите числа:

2 - 6 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 4}

Перемножьте числа:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{8}

Примените правило дробей:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Отмените общий множитель:

4

= - \frac{1}{2}

Решением квадратного уравнения являются:

u = 1, u = - \frac{1}{2}

Делаем обратную замену

u = sin (x)

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Общие решения для

sin (x) = 1

sin (x)

таблица периодичности с циклом

2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Общие решения для

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

таблица периодичности с циклом

2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Объедините все решения

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Объедините все решения

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Проверьте решения, вставив их в исходное уравнение

Проверьте решения, вставив их в

(tan (x) - sec (x))^{2} = 3

Удалите те, которые не согласуются с уравнением.

Проверьте решение

\frac{π}{2} + 2 πn :

Неверно

\frac{π}{2} + 2 πn

Подставьте

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Для

(tan (x) - sec (x))^{2} = 3

подключите

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

(tan (\frac{π}{2} + 2 π 1) - sec (\frac{π}{2} + 2 π 1))^{2} = 3

Неопределенный

\Rightarrow Неверно

Проверьте решение

\frac{7 π}{6} + 2 πn :

Верно

\frac{7 π}{6} + 2 πn

Подставьте

n = 1

\frac{7 π}{6} + 2 π 1

Для

(tan (x) - sec (x))^{2} = 3

подключите

x = \frac{7 π}{6} + 2 π 1

(tan (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) - sec (\frac{7 π}{6} + 2 π 1))^{2} = 3

Уточнить

3 = 3

\Rightarrow Верно

Проверьте решение

\frac{11 π}{6} + 2 πn :

Верно

\frac{11 π}{6} + 2 πn

Подставьте

n = 1

\frac{11 π}{6} + 2 π 1

Для

(tan (x) - sec (x))^{2} = 3

подключите

x = \frac{11 π}{6} + 2 π 1

(tan (\frac{11 π}{6} + 2 π 1) - sec (\frac{11 π}{6} + 2 π 1))^{2} = 3

Уточнить

3 = 3

\Rightarrow Верно

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Решение

Решение

График

Популярные примеры