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受欢迎的三角函数 >

8sin(θ)+15cos(θ)=17

解答

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 17

解答

θ = 0.48995 \dots + 2 πn

+1

度数

θ = 28.07248 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

求解步骤

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 17

两边减去

15 cos (θ)

8 sin (θ) = 17 - 15 cos (θ)

两边进行平方

(8 sin (θ))^{2} = (17 - 15 cos (θ))^{2}

两边减去

(17 - 15 cos (θ))^{2}

64 sin^{2} (θ) - 289 + 510 cos (θ) - 225 cos^{2} (θ) = 0

使用三角恒等式改写

- 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 sin^{2} (θ)

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ))

化简

- 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ)) : 510 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 225

- 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ))

乘开

64 (1 - cos^{2} (θ)) : 64 - 64 cos^{2} (θ)

64 (1 - cos^{2} (θ))

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = 64, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 64 \cdot 1 - 64 cos^{2} (θ)

数字相乘:

64 \cdot 1 = 64

= 64 - 64 cos^{2} (θ)

= - 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ)

化简

- 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ) : 510 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 225

- 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ)

对同类项分组

= - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) - 64 cos^{2} (θ) - 289 + 64

同类项相加:

- 225 cos^{2} (θ) - 64 cos^{2} (θ) = - 289 cos^{2} (θ)

= - 289 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) - 289 + 64

数字相加/相减:

- 289 + 64 = - 225

= 510 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 225

= 510 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 225

= 510 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 225

- 225 - 289 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) = 0

用替代法求解

- 225 - 289 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) = 0

令

: cos (θ) = u

- 225 - 289 u^{2} + 510 u = 0

- 225 - 289 u^{2} + 510 u = 0 : u = \frac{15}{17}

- 225 - 289 u^{2} + 510 u = 0

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c = 0

- 289 u^{2} + 510 u - 225 = 0

使用求根公式求解

- 289 u^{2} + 510 u - 225 = 0

二次方程求根公式:

若

a = - 289, b = 510, c = - 225

u_{1, 2} = \frac{- 510 \pm 51 0 ^{2} - 4 ( - 289 ) ( - 225 )}{2 ( - 289 )}

u_{1, 2} = \frac{- 510 \pm 51 0 ^{2} - 4 ( - 289 ) ( - 225 )}{2 ( - 289 )}

51 0^{2} - 4 (- 289) (- 225) = 0

51 0^{2} - 4 (- 289) (- 225)

使用法则

- (- a) = a

= 51 0^{2} - 4 \cdot 289 \cdot 225

数字相乘:

4 \cdot 289 \cdot 225 = 260100

= 51 0^{2} - 260100

51 0^{2} = 260100

= 260100 - 260100

数字相减:

260100 - 260100 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- 510 \pm 0}{2 ( - 289 )}

u = \frac{- 510}{2 ( - 289 )}

\frac{- 510}{2 ( - 289 )} = \frac{15}{17}

\frac{- 510}{2 ( - 289 )}

去除括号:

(- a) = - a

= \frac{- 510}{- 2 \cdot 289}

数字相乘:

2 \cdot 289 = 578

= \frac{- 510}{- 578}

使用分式法则:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{510}{578}

约分:

34

= \frac{15}{17}

u = \frac{15}{17}

二次方程组的解是:

u = \frac{15}{17}

u = cos (θ)

代回

cos (θ) = \frac{15}{17}

cos (θ) = \frac{15}{17}

cos (θ) = \frac{15}{17} : θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{15}{17}

使用反三角函数性质

cos (θ) = \frac{15}{17}

cos (θ) = \frac{15}{17}

的通解

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

合并所有解

θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

将解代入原方程进行验证

将它们代入

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 17

检验解是否符合

去除与方程不符的解。

检验

arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

的解:

真

arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

代入

n = 1

arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1

对于

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 17

代入

θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1

8 sin (arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1) + 15 cos (arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1) = 17

整理后得

17 = 17

\Rightarrow 真

检验

2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

的解:

假

2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

代入

n = 1

2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1

对于

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 17

代入

θ = 2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1

8 sin (2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1) + 15 cos (2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1) = 17

整理后得

9.47058 \dots = 17

\Rightarrow 假

θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

以小数形式表示解

θ = 0.48995 \dots + 2 πn

作图

流行的例子

cos (x - 1) = 0

2sin(t)+3cos(t)=0

2 sin (t) + 3 cos (t) = 0

tan(θ)=(-11/3-(-4/3))/(1+(-4/3)(-11/3))

tan (θ) = \frac{- \frac{11}{3} - ( - \frac{4}{3} )}{1 + ( - \frac{4}{3} ) ( - \frac{11}{3} )}

csc(2x)=2,x0<x<360

csc (2 x) = 2, x 0^{\circ} < x < 36 0^{\circ}

tan (x) = \frac{6}{7}