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Beliebt Trigonometrie >

arctan(1/4 x)-pi-arctan(x/(100))=-pi

Lösung

arctan (\frac{1}{4} x) - π - arctan (\frac{x}{100}) = - π

Lösung

x = 0

Schritte zur Lösung

arctan (\frac{1}{4} x) - π - arctan (\frac{x}{100}) = - π

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

arctan (\frac{1}{4} x) - π - arctan (\frac{x}{100})

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

arctan (s) - arctan (t) = arctan (\frac{s - t}{1 + s t})

= - π + arctan (\frac{\frac{1}{4} x - \frac{x}{100}}{1 + \frac{1}{4} x \frac{x}{100}})

- π + arctan (\frac{\frac{1}{4} x - \frac{x}{100}}{1 + \frac{1}{4} x \frac{x}{100}}) = - π

Füge

π

zu beiden Seiten hinzu

- π + arctan (\frac{\frac{1}{4} x - \frac{x}{100}}{1 + \frac{1}{4} x \frac{x}{100}}) + π = - π + π

Vereinfache

arctan (\frac{\frac{1}{4} x - \frac{x}{100}}{1 + \frac{1}{4} x \frac{x}{100}}) = 0

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

arctan (\frac{\frac{1}{4} x - \frac{x}{100}}{1 + \frac{1}{4} x \frac{x}{100}}) = 0

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{\frac{1}{4} x - \frac{x}{100}}{1 + \frac{1}{4} x \frac{x}{100}} = tan (0)

tan (0) = 0

tan (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

tan (0) = 0

tan (0)

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 0

= 0

\frac{\frac{1}{4} x - \frac{x}{100}}{1 + \frac{1}{4} x \frac{x}{100}} = 0

\frac{\frac{1}{4} x - \frac{x}{100}}{1 + \frac{1}{4} x \frac{x}{100}} = 0

Löse

\frac{\frac{1}{4} x - \frac{x}{100}}{1 + \frac{1}{4} x \frac{x}{100}} = 0 : x = 0

\frac{\frac{1}{4} x - \frac{x}{100}}{1 + \frac{1}{4} x \frac{x}{100}} = 0

Vereinfache

\frac{\frac{1}{4} x - \frac{x}{100}}{1 + \frac{1}{4} x \frac{x}{100}} : \frac{96 x}{400 + x ^{2}}

\frac{\frac{1}{4} x - \frac{x}{100}}{1 + \frac{1}{4} x \frac{x}{100}}

\frac{1}{4} x \frac{x}{100} = \frac{x ^{2}}{400}

\frac{1}{4} x \frac{x}{100}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{1 \cdot xx}{4 \cdot 100}

1 \cdot xx = x^{2}

1 \cdot xx

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= 1 \cdot x^{1 + 1}

Fasse zusammen

= x^{2}

= \frac{x ^{2}}{4 \cdot 100}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 100 = 400

= \frac{x ^{2}}{400}

= \frac{\frac{1}{4} x - \frac{x}{100}}{1 + \frac{x ^{2}}{400}}

Füge

\frac{1}{4} x - \frac{x}{100}

zusammen:

\frac{6 x}{25}

\frac{1}{4} x - \frac{x}{100}

Multipliziere

\frac{1}{4} x : \frac{x}{4}

\frac{1}{4} x

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot x}{4}

Multipliziere:

1 \cdot x = x

= \frac{x}{4}

= \frac{x}{4} - \frac{x}{100}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

4, 100 : 100

4, 100

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Primfaktorzerlegung von

100 : 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5

100

100

ist durch

2100 = 50 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 50

50

ist durch

250 = 25 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 25

25

ist durch

525 = 5 \cdot 5

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

4

oder

100

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 100

= 100

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

100

Für

\frac{x}{4} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

25

\frac{x}{4} = \frac{x \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{x \cdot 25}{100}

= \frac{x \cdot 25}{100} - \frac{x}{100}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 25 - x}{100}

Addiere gleiche Elemente:

25 x - x = 24 x

= \frac{24 x}{100}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{6 x}{25}

= \frac{\frac{6 x}{25}}{1 + \frac{x ^{2}}{400}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{6 x}{25 ( 1 + \frac{x ^{2}}{400} )}

Füge

1 + \frac{x ^{2}}{400}

zusammen:

\frac{400 + x ^{2}}{400}

1 + \frac{x ^{2}}{400}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 400}{400}

= \frac{1 \cdot 400}{400} + \frac{x ^{2}}{400}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 400 + x ^{2}}{400}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 400 = 400

= \frac{400 + x ^{2}}{400}

= \frac{6 x}{25 \cdot \frac{x ^{2} + 400}{400}}

Multipliziere

25 \cdot \frac{400 + x ^{2}}{400} : \frac{400 + x ^{2}}{16}

25 \cdot \frac{400 + x ^{2}}{400}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 400 + x ^{2} ) \cdot 25}{400}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

25

= \frac{400 + x ^{2}}{16}

= \frac{6 x}{\frac{400 + x ^{2}}{16}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{6 x \cdot 16}{400 + x ^{2}}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 16 = 96

= \frac{96 x}{400 + x ^{2}}

\frac{96 x}{400 + x ^{2}} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

96 x = 0

Teile beide Seiten durch

96

96 x = 0

Teile beide Seiten durch

96

\frac{96 x}{96} = \frac{0}{96}

Vereinfache

x = 0

x = 0

x = 0

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

arctan (\frac{1}{4} x) - π - arctan (\frac{x}{100}) = - π

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

0 :

Wahr

0

Setze ein

n = 1

0

Setze

x = 0

arctan (\frac{1}{4} x) - π - arctan (\frac{x}{100}) = - π

ein, um zu lösen

arctan (\frac{1}{4} \cdot 0) - π - arctan (\frac{0}{100}) = - π

Fasse zusammen

- 3.14159 \dots = - 3.14159 \dots

\Rightarrow Wahr

x = 0

Graph

Beliebte Beispiele

(cot(x)+1/(cot(x)))/(cos(x))=sec(x)

\frac{cot ( x ) + \frac{1}{c o t ( x )}}{cos ( x )} = sec (x)

sec(θ)=2,(tan(θ)-sin(θ))^2+(1-cos(θ))^2

sec (θ) = 2, (tan (θ) - sin (θ))^{2} + (1 - cos (θ))^{2}

(1+csc(A))(1-csc(A))=-cot(A)

(1 + csc (A)) (1 - csc (A)) = - cot (A)

6cos^2(3x)-cos(3x)-2=0

6 cos^{2} (3 x) - cos (3 x) - 2 = 0

cos(2x)-3cos(x)+1=0

cos (2 x) - 3 cos (x) + 1 = 0