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Beliebt Trigonometrie >

arccot(x)+arccot(1+x)= pi/4

Lösung

arccot (x) + arccot (1 + x) = \frac{π}{4}

Lösung

x = 2

Schritte zur Lösung

arccot (x) + arccot (1 + x) = \frac{π}{4}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

arccot (x) + arccot (1 + x)

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

arccot (s) + arccot (t) = arccot (\frac{s t - 1}{t + s})

= arccot (\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x})

arccot (\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x}) = \frac{π}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

arccot (\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x}) = \frac{π}{4}

arccot (x) = a \Rightarrow x = cot (a)

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x} = cot (\frac{π}{4})

cot (\frac{π}{4}) = 1

cot (\frac{π}{4})

Verwende die folgende triviale Identität:

cot (\frac{π}{4}) = 1

cot (\frac{π}{4})

cot (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cot (x) \mp \infty 31 \frac{3}{3} 0 - \frac{3}{3} - 1 - 3

= 1

= 1

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x} = 1

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x} = 1

Löse

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x} = 1 : x = 2, x = - 1

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x} = 1

Vereinfache

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x} : \frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + 2 x}

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x}

Addiere gleiche Elemente:

x + x = 2 x

= \frac{x ( x + 1 ) - 1}{1 + 2 x}

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + 2 x} = 1

Multipliziere beide Seiten mit

1 + 2 x

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + 2 x} = 1

Multipliziere beide Seiten mit

1 + 2 x

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + 2 x} (1 + 2 x) = 1 \cdot (1 + 2 x)

Vereinfache

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + 2 x} (1 + 2 x) = 1 \cdot (1 + 2 x)

Vereinfache

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + 2 x} (1 + 2 x) : x (1 + x) - 1

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + 2 x} (1 + 2 x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( x ( 1 + x ) - 1 ) ( 1 + 2 x )}{1 + 2 x}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

1 + 2 x

= x (1 + x) - 1

Vereinfache

1 \cdot (1 + 2 x) : 1 + 2 x

1 \cdot (1 + 2 x)

Multipliziere:

1 \cdot (1 + 2 x) = (1 + 2 x)

= (1 + 2 x)

Entferne die Klammern:

(a) = a

= 1 + 2 x

x (1 + x) - 1 = 1 + 2 x

x (1 + x) - 1 = 1 + 2 x

x (1 + x) - 1 = 1 + 2 x

Löse

x (1 + x) - 1 = 1 + 2 x : x = 2, x = - 1

x (1 + x) - 1 = 1 + 2 x

Schreibe

x (1 + x) - 1

um:

x + x^{2} - 1

x (1 + x) - 1

Multipliziere aus

x (1 + x) : x + x^{2}

x (1 + x)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = x, b = 1, c = x

= x \cdot 1 + xx

= 1 \cdot x + xx

Vereinfache

1 \cdot x + xx : x + x^{2}

1 \cdot x + xx

1 \cdot x = x

1 \cdot x

Multipliziere:

1 \cdot x = x

= x

xx = x^{2}

xx

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= x + x^{2}

= x + x^{2}

= x + x^{2} - 1

x + x^{2} - 1 = 1 + 2 x

Verschiebe

2 x

auf die linke Seite

x + x^{2} - 1 = 1 + 2 x

Subtrahiere

2 x

von beiden Seiten

x + x^{2} - 1 - 2 x = 1 + 2 x - 2 x

Vereinfache

x^{2} - x - 1 = 1

x^{2} - x - 1 = 1

Verschiebe

1

auf die linke Seite

x^{2} - x - 1 = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

x^{2} - x - 1 - 1 = 1 - 1

Vereinfache

x^{2} - x - 2 = 0

x^{2} - x - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

x^{2} - x - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 1, c = - 2

x_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 3

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

4 \cdot 1 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 8

= 1 + 8

Addiere die Zahlen:

1 + 8 = 9

= 9

Faktorisiere die Zahl:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

x_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

x_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 1}, x_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 1}

x = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 1} : 2

\frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 3}{2 \cdot 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 3 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= 2

x = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 1} : - 1

\frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 3}{2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 3 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

x = 2, x = - 1

x = 2, x = - 1

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

x = - \frac{1}{2}

Nimm den/die Nenner von

\frac{x ( 1 + x ) - 1}{1 + x + x}

und vergleiche mit Null

Löse

1 + x + x = 0 : x = - \frac{1}{2}

1 + x + x = 0

Addiere gleiche Elemente:

x + x = 2 x

1 + 2 x = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + 2 x = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + 2 x - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 x = - 1

2 x = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 x = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

x = - \frac{1}{2}

x = - \frac{1}{2}

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

x = - \frac{1}{2}

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

x = 2, x = - 1

x = 2, x = - 1

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

arccot (x) + arccot (1 + x) = \frac{π}{4}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

2 :

Wahr

2

Setze ein

n = 1

2

Setze

x = 2

arccot (x) + arccot (1 + x) = \frac{π}{4}

ein, um zu lösen

arccot (2) + arccot (1 + 2) = \frac{π}{4}

Fasse zusammen

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- 1 :

Falsch

- 1

Setze ein

n = 1

- 1

Setze

x = - 1

arccot (x) + arccot (1 + x) = \frac{π}{4}

ein, um zu lösen

arccot (- 1) + arccot (1 - 1) = \frac{π}{4}

Fasse zusammen

3.92699 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Falsch

x = 2

Graph

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