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Beliebt Trigonometrie >

3sin(x)+6cos(x)=4

Lösung

3 sin (x) + 6 cos (x) = 4

Lösung

x = 1.39557 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.46828 \dots + 2 πn

Grad

x = 79.96077 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 333.16932 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sin (x) + 6 cos (x) = 4

Subtrahiere

6 cos (x)

von beiden Seiten

3 sin (x) = 4 - 6 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(3 sin (x))^{2} = (4 - 6 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(4 - 6 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

9 sin^{2} (x) - 16 + 48 cos (x) - 36 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 16 - 36 cos^{2} (x) + 48 cos (x) + 9 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 16 - 36 cos^{2} (x) + 48 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 16 - 36 cos^{2} (x) + 48 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x)) : 48 cos (x) - 45 cos^{2} (x) - 7

- 16 - 36 cos^{2} (x) + 48 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

9 (1 - cos^{2} (x)) : 9 - 9 cos^{2} (x)

9 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 cos^{2} (x)

= - 16 - 36 cos^{2} (x) + 48 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 16 - 36 cos^{2} (x) + 48 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x) : 48 cos (x) - 45 cos^{2} (x) - 7

- 16 - 36 cos^{2} (x) + 48 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 36 cos^{2} (x) + 48 cos (x) - 9 cos^{2} (x) - 16 + 9

Addiere gleiche Elemente:

- 36 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 45 cos^{2} (x)

= - 45 cos^{2} (x) + 48 cos (x) - 16 + 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 16 + 9 = - 7

= 48 cos (x) - 45 cos^{2} (x) - 7

= 48 cos (x) - 45 cos^{2} (x) - 7

= 48 cos (x) - 45 cos^{2} (x) - 7

- 7 - 45 cos^{2} (x) + 48 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- 7 - 45 cos^{2} (x) + 48 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 7 - 45 u^{2} + 48 u = 0

- 7 - 45 u^{2} + 48 u = 0 : u = \frac{8 - 29}{15}, u = \frac{8 + 29}{15}

- 7 - 45 u^{2} + 48 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 45 u^{2} + 48 u - 7 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 45 u^{2} + 48 u - 7 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 45, b = 48, c = - 7

u_{1, 2} = \frac{- 48 \pm 4 8 ^{2} - 4 ( - 45 ) ( - 7 )}{2 ( - 45 )}

u_{1, 2} = \frac{- 48 \pm 4 8 ^{2} - 4 ( - 45 ) ( - 7 )}{2 ( - 45 )}

4 8^{2} - 4 (- 45) (- 7) = 629

4 8^{2} - 4 (- 45) (- 7)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 4 8^{2} - 4 \cdot 45 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 45 \cdot 7 = 1260

= 4 8^{2} - 1260

4 8^{2} = 2304

= 2304 - 1260

Subtrahiere die Zahlen:

2304 - 1260 = 1044

= 1044

Primfaktorzerlegung von

1044 : 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 29

1044

1044

ist durch

21044 = 522 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 522

522

ist durch

2522 = 261 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 261

261

ist durch

3261 = 87 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 87

87

ist durch

387 = 29 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 29

2, 3, 29

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 29

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 29

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 29

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 29 2^{2} 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 229 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2 \cdot 329

Fasse zusammen

= 629

u_{1, 2} = \frac{- 48 \pm 6 29}{2 ( - 45 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 48 + 6 29}{2 ( - 45 )}, u_{2} = \frac{- 48 - 6 29}{2 ( - 45 )}

u = \frac{- 48 + 6 29}{2 ( - 45 )} : \frac{8 - 29}{15}

\frac{- 48 + 6 29}{2 ( - 45 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 48 + 6 29}{- 2 \cdot 45}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 45 = 90

= \frac{- 48 + 6 29}{- 90}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 48 + 629 = - (48 - 629)

= \frac{48 - 6 29}{90}

Faktorisiere

48 - 629 : 6 (8 - 29)

48 - 629

Schreibe um

= 6 \cdot 8 - 629

Klammere gleiche Terme aus

6

= 6 (8 - 29)

= \frac{6 ( 8 - 29 )}{90}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{8 - 29}{15}

u = \frac{- 48 - 6 29}{2 ( - 45 )} : \frac{8 + 29}{15}

\frac{- 48 - 6 29}{2 ( - 45 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 48 - 6 29}{- 2 \cdot 45}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 45 = 90

= \frac{- 48 - 6 29}{- 90}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 48 - 629 = - (48 + 629)

= \frac{48 + 6 29}{90}

Faktorisiere

48 + 629 : 6 (8 + 29)

48 + 629

Schreibe um

= 6 \cdot 8 + 629

Klammere gleiche Terme aus

6

= 6 (8 + 29)

= \frac{6 ( 8 + 29 )}{90}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{8 + 29}{15}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{8 - 29}{15}, u = \frac{8 + 29}{15}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{8 - 29}{15}, cos (x) = \frac{8 + 29}{15}

cos (x) = \frac{8 - 29}{15}, cos (x) = \frac{8 + 29}{15}

cos (x) = \frac{8 - 29}{15} : x = arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn

cos (x) = \frac{8 - 29}{15}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{8 - 29}{15}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{8 - 29}{15}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn

x = arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn

cos (x) = \frac{8 + 29}{15} : x = arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn

cos (x) = \frac{8 + 29}{15}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{8 + 29}{15}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{8 + 29}{15}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn

x = arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn, x = arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

3 sin (x) + 6 cos (x) = 4

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 π 1

3 sin (x) + 6 cos (x) = 4

ein, um zu lösen

3 sin (arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 π 1) + 6 cos (arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 π 1) = 4

Fasse zusammen

4 = 4

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 π 1

3 sin (x) + 6 cos (x) = 4

ein, um zu lösen

3 sin (2 π - arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 π 1) + 6 cos (2 π - arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 π 1) = 4

Fasse zusammen

- 1.90813 \dots = 4

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn :

Falsch

arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 π 1

3 sin (x) + 6 cos (x) = 4

ein, um zu lösen

3 sin (arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 π 1) + 6 cos (arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 π 1) = 4

Fasse zusammen

6.70813 \dots = 4

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn :

Wahr

2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 π 1

3 sin (x) + 6 cos (x) = 4

ein, um zu lösen

3 sin (2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 π 1) + 6 cos (2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 π 1) = 4

Fasse zusammen

4 = 4

\Rightarrow Wahr

x = arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.39557 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.46828 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3tan(2x+1)=2

3 tan (2 x + 1) = 2

tan(2x)-2=3tan(x)

tan (2 x) - 2 = 3 tan (x)

sin(x-pi/6)=0

sin (x - \frac{π}{6}) = 0

arccot(x-2)=arccot(x-1)+arccot(x)

arccot (x - 2) = arccot (x - 1) + arccot (x)

arccos(2x)=pi

arccos (2 x) = π