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Popular Trigonometria >

6=50sin(x)-15cos(x),0<x< pi/2

Solução

6 = 50 sin (x) - 15 cos (x), 0 < x < \frac{π}{2}

Solução

x = 0.40665 \dots

Graus

x = 23.29935 \dots^{\circ}

Passos da solução

6 = 50 sin (x) - 15 cos (x), 0 < x < \frac{π}{2}

Adicionar

15 cos (x)

a ambos os lados

50 sin (x) = 6 + 15 cos (x)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(50 sin (x))^{2} = (6 + 15 cos (x))^{2}

Subtrair

(6 + 15 cos (x))^{2}

de ambos os lados

2500 sin^{2} (x) - 36 - 180 cos (x) - 225 cos^{2} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 36 - 180 cos (x) - 225 cos^{2} (x) + 2500 sin^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 36 - 180 cos (x) - 225 cos^{2} (x) + 2500 (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

- 36 - 180 cos (x) - 225 cos^{2} (x) + 2500 (1 - cos^{2} (x)) : - 2725 cos^{2} (x) - 180 cos (x) + 2464

- 36 - 180 cos (x) - 225 cos^{2} (x) + 2500 (1 - cos^{2} (x))

Expandir

2500 (1 - cos^{2} (x)) : 2500 - 2500 cos^{2} (x)

2500 (1 - cos^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2500, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 2500 \cdot 1 - 2500 cos^{2} (x)

Multiplicar os números:

2500 \cdot 1 = 2500

= 2500 - 2500 cos^{2} (x)

= - 36 - 180 cos (x) - 225 cos^{2} (x) + 2500 - 2500 cos^{2} (x)

Simplificar

- 36 - 180 cos (x) - 225 cos^{2} (x) + 2500 - 2500 cos^{2} (x) : - 2725 cos^{2} (x) - 180 cos (x) + 2464

- 36 - 180 cos (x) - 225 cos^{2} (x) + 2500 - 2500 cos^{2} (x)

Agrupar termos semelhantes

= - 180 cos (x) - 225 cos^{2} (x) - 2500 cos^{2} (x) - 36 + 2500

Somar elementos similares:

- 225 cos^{2} (x) - 2500 cos^{2} (x) = - 2725 cos^{2} (x)

= - 180 cos (x) - 2725 cos^{2} (x) - 36 + 2500

Somar/subtrair:

- 36 + 2500 = 2464

= - 2725 cos^{2} (x) - 180 cos (x) + 2464

= - 2725 cos^{2} (x) - 180 cos (x) + 2464

= - 2725 cos^{2} (x) - 180 cos (x) + 2464

2464 - 180 cos (x) - 2725 cos^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

2464 - 180 cos (x) - 2725 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

2464 - 180 u - 2725 u^{2} = 0

2464 - 180 u - 2725 u^{2} = 0 : u = - \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}, u = \frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}

2464 - 180 u - 2725 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 2725 u^{2} - 180 u + 2464 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 2725 u^{2} - 180 u + 2464 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 2725, b = - 180, c = 2464

u_{1, 2} = \frac{- ( - 180 ) \pm ( - 180 ) ^{2} - 4 ( - 2725 ) \cdot 2464}{2 ( - 2725 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 180 ) \pm ( - 180 ) ^{2} - 4 ( - 2725 ) \cdot 2464}{2 ( - 2725 )}

(- 180)^{2} - 4 (- 2725) \cdot 2464 = 1002689

(- 180)^{2} - 4 (- 2725) \cdot 2464

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 180)^{2} + 4 \cdot 2725 \cdot 2464

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 180)^{2} = 18 0^{2}

= 18 0^{2} + 4 \cdot 2725 \cdot 2464

Multiplicar os números:

4 \cdot 2725 \cdot 2464 = 26857600

= 18 0^{2} + 26857600

18 0^{2} = 32400

= 32400 + 26857600

Somar:

32400 + 26857600 = 26890000

= 26890000

Decomposição em fatores primos de

26890000 : 2^{4} \cdot 5^{4} \cdot 2689

26890000

= 2^{4} \cdot 5^{4} \cdot 2689

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 2689 2^{4} 5^{4}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2689 5^{4}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

5^{4} = 5^{\frac{4}{2}} = 5^{2}

= 2^{2} \cdot 5^{2} 2689

Simplificar

= 1002689

u_{1, 2} = \frac{- ( - 180 ) \pm 100 2689}{2 ( - 2725 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 180 ) + 100 2689}{2 ( - 2725 )}, u_{2} = \frac{- ( - 180 ) - 100 2689}{2 ( - 2725 )}

u = \frac{- ( - 180 ) + 100 2689}{2 ( - 2725 )} : - \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}

\frac{- ( - 180 ) + 100 2689}{2 ( - 2725 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{180 + 100 2689}{- 2 \cdot 2725}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2725 = 5450

= \frac{180 + 100 2689}{- 5450}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{180 + 100 2689}{5450}

Cancelar

\frac{180 + 100 2689}{5450} : \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}

\frac{180 + 100 2689}{5450}

Fatorar

180 + 1002689 : 20 (9 + 52689)

180 + 1002689

Reescrever como

= 20 \cdot 9 + 20 \cdot 52689

Fatorar o termo comum

20

= 20 (9 + 52689)

= \frac{20 ( 9 + 5 2689 )}{5450}

Eliminar o fator comum:

10

= \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}

= - \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}

u = \frac{- ( - 180 ) - 100 2689}{2 ( - 2725 )} : \frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}

\frac{- ( - 180 ) - 100 2689}{2 ( - 2725 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{180 - 100 2689}{- 2 \cdot 2725}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2725 = 5450

= \frac{180 - 100 2689}{- 5450}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

180 - 1002689 = - (1002689 - 180)

= \frac{100 2689 - 180}{5450}

Fatorar

1002689 - 180 : 20 (52689 - 9)

1002689 - 180

Reescrever como

= 20 \cdot 52689 - 20 \cdot 9

Fatorar o termo comum

20

= 20 (52689 - 9)

= \frac{20 ( 5 2689 - 9 )}{5450}

Eliminar o fator comum:

10

= \frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}, u = \frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}, cos (x) = \frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}

cos (x) = - \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}, cos (x) = \frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}

cos (x) = - \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}, 0 < x < \frac{π}{2} :

Sem solução

cos (x) = - \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}, 0 < x < \frac{π}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}

Soluções gerais para

cos (x) = - \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}) + 2 πn

Soluções para o intervalo

0 < x < \frac{π}{2}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (x) = \frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}, 0 < x < \frac{π}{2} : x = arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545})

cos (x) = \frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}, 0 < x < \frac{π}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}) + 2 πn

Soluções para o intervalo

0 < x < \frac{π}{2}

x = arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545})

Combinar toda as soluções

x = arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545})

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

50 sin (x) - 15 cos (x) = 6

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}) :

Verdadeiro

arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545})

Inserir

n = 1

arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545})

Para

50 sin (x) - 15 cos (x) = 6

inserir

x = arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545})

50 sin (arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545})) - 15 cos (arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545})) = 6

Simplificar

6 = 6

\Rightarrow Verdadeiro

x = arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545})

Mostrar soluções na forma decimal

x = 0.40665 \dots

Gráfico

Exemplos populares

solvefor y,x=3sin(y)

so l v e f or y, x = 3 sin (y)

sin(x)-0.75=0

sin (x) - 0.75 = 0

2cos^2(x)+cos(x)-6=0

2 cos^{2} (x) + cos (x) - 6 = 0

tan(2x)+sec(2x)=4

tan (2 x) + sec (2 x) = 4

sqrt(3)tan(θ-20)=tan^2(45)

3 tan (θ - 2 0^{\circ}) = tan^{2} (4 5^{\circ})