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5cos^2(x)=6sin(x)

Solução

5 cos^{2} (x) = 6 sin (x)

Solução

x = 0.60187 \dots + 2 πn, x = π - 0.60187 \dots + 2 πn

Graus

x = 34.48499 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 145.51500 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

5 cos^{2} (x) = 6 sin (x)

Subtrair

6 sin (x)

de ambos os lados

5 cos^{2} (x) - 6 sin (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

5 cos^{2} (x) - 6 sin (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 5 (1 - sin^{2} (x)) - 6 sin (x)

(1 - sin^{2} (x)) \cdot 5 - 6 sin (x) = 0

Usando o método de substituição

(1 - sin^{2} (x)) \cdot 5 - 6 sin (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

(1 - u^{2}) \cdot 5 - 6 u = 0

(1 - u^{2}) \cdot 5 - 6 u = 0 : u = - \frac{3 + 34}{5}, u = \frac{34 - 3}{5}

(1 - u^{2}) \cdot 5 - 6 u = 0

Expandir

(1 - u^{2}) \cdot 5 - 6 u : 5 - 5 u^{2} - 6 u

(1 - u^{2}) \cdot 5 - 6 u

= 5 (1 - u^{2}) - 6 u

Expandir

5 (1 - u^{2}) : 5 - 5 u^{2}

5 (1 - u^{2})

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 5, b = 1, c = u^{2}

= 5 \cdot 1 - 5 u^{2}

Multiplicar os números:

5 \cdot 1 = 5

= 5 - 5 u^{2}

= 5 - 5 u^{2} - 6 u

5 - 5 u^{2} - 6 u = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 5 u^{2} - 6 u + 5 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 5 u^{2} - 6 u + 5 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 5, b = - 6, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 5}{2 ( - 5 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 5}{2 ( - 5 )}

(- 6)^{2} - 4 (- 5) \cdot 5 = 234

(- 6)^{2} - 4 (- 5) \cdot 5

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 6)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 5

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 6)^{2} = 6^{2}

= 6^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 5

Multiplicar os números:

4 \cdot 5 \cdot 5 = 100

= 6^{2} + 100

6^{2} = 36

= 36 + 100

Somar:

36 + 100 = 136

= 136

Decomposição em fatores primos de

136 : 2^{3} \cdot 17

136

136

dividida por

2136 = 68 \cdot 2

= 2 \cdot 68

68

dividida por

268 = 34 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 34

34

dividida por

234 = 17 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 17

2, 17

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 17

= 2^{3} \cdot 17

= 2^{3} \cdot 17

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 17

Aplicar as propriedades dos radicais:

= 2^{2} 2 \cdot 17

Aplicar as propriedades dos radicais:

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 17

Simplificar

= 234

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm 2 34}{2 ( - 5 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 6 ) + 2 34}{2 ( - 5 )}, u_{2} = \frac{- ( - 6 ) - 2 34}{2 ( - 5 )}

u = \frac{- ( - 6 ) + 2 34}{2 ( - 5 )} : - \frac{3 + 34}{5}

\frac{- ( - 6 ) + 2 34}{2 ( - 5 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{6 + 2 34}{- 2 \cdot 5}

Multiplicar os números:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{6 + 2 34}{- 10}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6 + 2 34}{10}

Cancelar

\frac{6 + 2 34}{10} : \frac{3 + 34}{5}

\frac{6 + 2 34}{10}

Fatorar

6 + 234 : 2 (3 + 34)

6 + 234

Reescrever como

= 2 \cdot 3 + 234

Fatorar o termo comum

2

= 2 (3 + 34)

= \frac{2 ( 3 + 34 )}{10}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{3 + 34}{5}

= - \frac{3 + 34}{5}

u = \frac{- ( - 6 ) - 2 34}{2 ( - 5 )} : \frac{34 - 3}{5}

\frac{- ( - 6 ) - 2 34}{2 ( - 5 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{6 - 2 34}{- 2 \cdot 5}

Multiplicar os números:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{6 - 2 34}{- 10}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

6 - 234 = - (234 - 6)

= \frac{2 34 - 6}{10}

Fatorar

234 - 6 : 2 (34 - 3)

234 - 6

Reescrever como

= 234 - 2 \cdot 3

Fatorar o termo comum

2

= 2 (34 - 3)

= \frac{2 ( 34 - 3 )}{10}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{34 - 3}{5}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{3 + 34}{5}, u = \frac{34 - 3}{5}

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{3 + 34}{5}, sin (x) = \frac{34 - 3}{5}

sin (x) = - \frac{3 + 34}{5}, sin (x) = \frac{34 - 3}{5}

sin (x) = - \frac{3 + 34}{5} :

Sem solução

sin (x) = - \frac{3 + 34}{5}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

sin (x) = \frac{34 - 3}{5} : x = arcsin (\frac{34 - 3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{34 - 3}{5}) + 2 πn

sin (x) = \frac{34 - 3}{5}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{34 - 3}{5}

Soluções gerais para

sin (x) = \frac{34 - 3}{5}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{34 - 3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{34 - 3}{5}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{34 - 3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{34 - 3}{5}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arcsin (\frac{34 - 3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{34 - 3}{5}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 0.60187 \dots + 2 πn, x = π - 0.60187 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

arcsin((900x^2-1)/(900x^2+1))=1.18

cos(θ)= 11/61

cos(x)= 4/8

(sin(51))/(18)=(sin(x))/(22)

cos(2x)=sin(70+x)