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Beliebt Trigonometrie >

sin(x)+sin^2(x)+sin^3(x)+sin^4(x)=0

Lösung

sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{3} (x) + sin^{4} (x) = 0

Lösung

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

+1

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{3} (x) + sin^{4} (x) = 0

Löse mit Substitution

sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{3} (x) + sin^{4} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

u + u^{2} + u^{3} + u^{4} = 0

u + u^{2} + u^{3} + u^{4} = 0 : u = 0, u = - 1, u = i, u = - i

u + u^{2} + u^{3} + u^{4} = 0

Faktorisiere

u + u^{2} + u^{3} + u^{4} : u (u + 1) (u^{2} + 1)

u + u^{2} + u^{3} + u^{4}

Klammere gleiche Terme aus

u : u (u^{3} + u^{2} + u + 1)

u^{4} + u^{3} + u^{2} + u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= u^{3} u + u^{2} u + uu + u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (u^{3} + u^{2} + u + 1)

= u (u^{3} + u^{2} + u + 1)

Faktorisiere

u^{3} + u^{2} + u + 1 : (u + 1) (u^{2} + 1)

u^{3} + u^{2} + u + 1

= (u^{3} + u^{2}) + (u + 1)

Klammere

u^{2}

aus

u^{3} + u^{2}

aus

: u^{2} (u + 1)

u^{3} + u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= u u^{2} + u^{2}

Klammere gleiche Terme aus

u^{2}

= u^{2} (u + 1)

= (u + 1) + u^{2} (u + 1)

Klammere gleiche Terme aus

u + 1

= (u + 1) (u^{2} + 1)

= u (u + 1) (u^{2} + 1)

u (u + 1) (u^{2} + 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u = 0 or u + 1 = 0 or u^{2} + 1 = 0

Löse

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

Löse

u^{2} + 1 = 0 : u = i, u = - i

u^{2} + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u^{2} + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u^{2} + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u^{2} = - 1

u^{2} = - 1

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = - 1, u = - - 1

Vereinfache

- 1 : i

- 1

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= i

Vereinfache

- - 1 : - i

- - 1

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= - i

u = i, u = - i

Die Lösungen sind

u = 0, u = - 1, u = i, u = - i

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = 0, sin (x) = - 1, sin (x) = i, sin (x) = - i

sin (x) = 0, sin (x) = - 1, sin (x) = i, sin (x) = - i

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = i :

Keine Lösung

sin (x) = i

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (x) = - i :

Keine Lösung

sin (x) = - i

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(9x)-cos(x)=0

cos(x)+2cos^2(x)=1

solvefor t,0.08=0.1cos(4t)

cos(180-x)=sin(-300)