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人気のある三角関数 >

sqrt(3)sin(x)-3cos(x)=sqrt(6)

解

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

解

x = - 2.87979 \dots + 2 πn, x = 1.83259 \dots + 2 πn

+1

度

x = - 16 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 10 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

両辺に

3 cos (x)

を足す

3 sin (x) = 6 + 3 cos (x)

両辺を2乗する

(3 sin (x))^{2} = (6 + 3 cos (x))^{2}

両辺から

(6 + 3 cos (x))^{2}

を引く

3 sin^{2} (x) - 6 - 66 cos (x) - 9 cos^{2} (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 6 + 3 sin^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 6 + 3 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6

簡素化

- 6 + 3 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6 : - 12 cos^{2} (x) - 66 cos (x) - 3

- 6 + 3 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6

= - 6 + 3 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x) - 66 cos (x)

拡張

3 (1 - cos^{2} (x)) : 3 - 3 cos^{2} (x)

3 (1 - cos^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 3 \cdot 1 - 3 cos^{2} (x)

数を乗じる:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 cos^{2} (x)

= - 6 + 3 - 3 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6

簡素化

- 6 + 3 - 3 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6 : - 12 cos^{2} (x) - 66 cos (x) - 3

- 6 + 3 - 3 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6

類似した元を足す:

- 3 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 12 cos^{2} (x)

= - 6 + 3 - 12 cos^{2} (x) - 66 cos (x)

数を足す/引く:

- 6 + 3 = - 3

= - 12 cos^{2} (x) - 66 cos (x) - 3

= - 12 cos^{2} (x) - 66 cos (x) - 3

= - 12 cos^{2} (x) - 66 cos (x) - 3

- 3 - 12 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6 = 0

置換で解く

- 3 - 12 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6 = 0

仮定:

cos (x) = u

- 3 - 12 u^{2} - 6 u 6 = 0

- 3 - 12 u^{2} - 6 u 6 = 0 : u = - \frac{6 + 2}{4}, u = - \frac{6 - 2}{4}

- 3 - 12 u^{2} - 6 u 6 = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 12 u^{2} - 66 u - 3 = 0

解くとthe二次式

- 12 u^{2} - 66 u - 3 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 12, b = - 66, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 6 ) \pm ( - 6 6 ) ^{2} - 4 ( - 12 ) ( - 3 )}{2 ( - 12 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 6 ) \pm ( - 6 6 ) ^{2} - 4 ( - 12 ) ( - 3 )}{2 ( - 12 )}

(- 66)^{2} - 4 (- 12) (- 3) = 62

(- 66)^{2} - 4 (- 12) (- 3)

規則を適用

- (- a) = a

= (- 66)^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 3

(- 66)^{2} = 6^{3}

(- 66)^{2}

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 66)^{2} = (66)^{2}

= (66)^{2}

指数の規則を適用する:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 6^{2} (6)^{2}

(6)^{2} : 6

累乗根の規則を適用する:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (6^{\frac{1}{2}})^{2}

指数の規則を適用する:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

共通因数を約分する:

2

= 1

= 6

= 6^{2} \cdot 6

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

6^{2} \cdot 6 = 6^{2 + 1}

= 6^{2 + 1}

数を足す:

2 + 1 = 3

= 6^{3}

4 \cdot 12 \cdot 3 = 144

4 \cdot 12 \cdot 3

数を乗じる:

4 \cdot 12 \cdot 3 = 144

= 144

= 6^{3} - 144

6^{3} = 216

= 216 - 144

数を引く:

216 - 144 = 72

= 72

以下の素因数分解:

72 : 2^{3} \cdot 3^{2}

72

72272 = 36 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 36

36236 = 18 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 18

18218 = 9 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9

939 = 3 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3^{2}

= 2^{3} \cdot 3^{2}

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2

累乗根の規則を適用する:

= 2 2^{2} 3^{2}

累乗根の規則を適用する:

2^{2} = 2

= 22 3^{2}

累乗根の規則を適用する:

3^{2} = 3

= 2 \cdot 32

改良

= 62

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 6 ) \pm 6 2}{2 ( - 12 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- ( - 6 6 ) + 6 2}{2 ( - 12 )}, u_{2} = \frac{- ( - 6 6 ) - 6 2}{2 ( - 12 )}

u = \frac{- ( - 6 6 ) + 6 2}{2 ( - 12 )} : - \frac{6 + 2}{4}

\frac{- ( - 6 6 ) + 6 2}{2 ( - 12 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{6 6 + 6 2}{- 2 \cdot 12}

数を乗じる:

2 \cdot 12 = 24

= \frac{6 6 + 6 2}{- 24}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6 6 + 6 2}{24}

キャンセル

\frac{6 6 + 6 2}{24} : \frac{6 + 2}{4}

\frac{6 6 + 6 2}{24}

共通項をくくり出す

6

= \frac{6 ( 6 + 2 )}{24}

共通因数を約分する:

6

= \frac{6 + 2}{4}

= - \frac{6 + 2}{4}

u = \frac{- ( - 6 6 ) - 6 2}{2 ( - 12 )} : - \frac{6 - 2}{4}

\frac{- ( - 6 6 ) - 6 2}{2 ( - 12 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{6 6 - 6 2}{- 2 \cdot 12}

数を乗じる:

2 \cdot 12 = 24

= \frac{6 6 - 6 2}{- 24}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6 6 - 6 2}{24}

キャンセル

\frac{6 6 - 6 2}{24} : \frac{6 - 2}{4}

\frac{6 6 - 6 2}{24}

共通項をくくり出す

6

= \frac{6 ( 6 - 2 )}{24}

共通因数を約分する:

6

= \frac{6 - 2}{4}

= - \frac{6 - 2}{4}

二次equationの解:

u = - \frac{6 + 2}{4}, u = - \frac{6 - 2}{4}

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4}, cos (x) = - \frac{6 - 2}{4}

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4}, cos (x) = - \frac{6 - 2}{4}

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4} : x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4}

以下の一般解

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{6 - 2}{4} : x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{6 - 2}{4}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = - \frac{6 - 2}{4}

以下の一般解

cos (x) = - \frac{6 - 2}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

偽

arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

の挿入向け

x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

3 sin (arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) - 3 cos (arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 6

改良

3.34606 \dots = 2.44948 \dots

\Rightarrow 偽

解答を確認する

- arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

真

- arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

挿入

n = 1

- arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

の挿入向け

x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

3 sin (- arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) - 3 cos (- arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 6

改良

2.44948 \dots = 2.44948 \dots

\Rightarrow 真

解答を確認する

arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

真

arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

の挿入向け

x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

3 sin (arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) - 3 cos (arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 6

改良

2.44948 \dots = 2.44948 \dots

\Rightarrow 真

解答を確認する

- arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

偽

- arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

挿入

n = 1

- arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

の挿入向け

x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

3 sin (- arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) - 3 cos (- arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 6

改良

- 0.89657 \dots = 2.44948 \dots

\Rightarrow 偽

x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = - 2.87979 \dots + 2 πn, x = 1.83259 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

sin(x)= 4/(sqrt(41))

189.4=100tan^2(45+θ/2)