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Beliebt Trigonometrie >

2cos(4x)+3=4cos(2x)

Lösung

2 cos (4 x) + 3 = 4 cos (2 x)

Lösung

x = \frac{π}{6} + πn, x = \frac{5 π}{6} + πn

Grad

x = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos (4 x) + 3 = 4 cos (2 x)

Subtrahiere

4 cos (2 x)

von beiden Seiten

2 cos (4 x) + 3 - 4 cos (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 + 2 cos (4 x) - 4 cos (2 x)

cos (4 x) = 2 cos^{2} (2 x) - 1

cos (4 x)

Schreibe um

= cos (2 \cdot 2 x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

cos (2 \cdot 2 x) = 2 cos^{2} (2 x) - 1

= 2 cos^{2} (2 x) - 1

= 3 + 2 (2 cos^{2} (2 x) - 1) - 4 cos (2 x)

Vereinfache

3 + 2 (2 cos^{2} (2 x) - 1) - 4 cos (2 x) : 4 cos^{2} (2 x) - 4 cos (2 x) + 1

3 + 2 (2 cos^{2} (2 x) - 1) - 4 cos (2 x)

Multipliziere aus

2 (2 cos^{2} (2 x) - 1) : 4 cos^{2} (2 x) - 2

2 (2 cos^{2} (2 x) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 2 cos^{2} (2 x), c = 1

= 2 \cdot 2 cos^{2} (2 x) - 2 \cdot 1

Vereinfache

2 \cdot 2 cos^{2} (2 x) - 2 \cdot 1 : 4 cos^{2} (2 x) - 2

2 \cdot 2 cos^{2} (2 x) - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 cos^{2} (2 x) - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 4 cos^{2} (2 x) - 2

= 4 cos^{2} (2 x) - 2

= 3 + 4 cos^{2} (2 x) - 2 - 4 cos (2 x)

Vereinfache

3 + 4 cos^{2} (2 x) - 2 - 4 cos (2 x) : 4 cos^{2} (2 x) - 4 cos (2 x) + 1

3 + 4 cos^{2} (2 x) - 2 - 4 cos (2 x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 4 cos^{2} (2 x) - 4 cos (2 x) + 3 - 2

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

3 - 2 = 1

= 4 cos^{2} (2 x) - 4 cos (2 x) + 1

= 4 cos^{2} (2 x) - 4 cos (2 x) + 1

= 4 cos^{2} (2 x) - 4 cos (2 x) + 1

1 - 4 cos (2 x) + 4 cos^{2} (2 x) = 0

Löse mit Substitution

1 - 4 cos (2 x) + 4 cos^{2} (2 x) = 0

Angenommen:

cos (2 x) = u

1 - 4 u + 4 u^{2} = 0

1 - 4 u + 4 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}

1 - 4 u + 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 4 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} - 4 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = - 4, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}{2 \cdot 4}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 0

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 16 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 0}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 4}

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2}

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

Die Lösung für die quadratische Gleichung ist:

u = \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (2 x)

ein

cos (2 x) = \frac{1}{2}

cos (2 x) = \frac{1}{2}

cos (2 x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{6} + πn, x = \frac{5 π}{6} + πn

cos (2 x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (2 x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

2 x = \frac{π}{3} + 2 πn, 2 x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

2 x = \frac{π}{3} + 2 πn, 2 x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Löse

2 x = \frac{π}{3} + 2 πn : x = \frac{π}{6} + πn

2 x = \frac{π}{3} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = \frac{π}{3} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{6} + πn

\frac{\frac{π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{3}}{2} = \frac{π}{6}

\frac{\frac{π}{3}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{3 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{π}{6}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{6} + πn

x = \frac{π}{6} + πn

x = \frac{π}{6} + πn

x = \frac{π}{6} + πn

Löse

2 x = \frac{5 π}{3} + 2 πn : x = \frac{5 π}{6} + πn

2 x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{5 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{5 π}{6} + πn

\frac{\frac{5 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{5 π}{3}}{2} = \frac{5 π}{6}

\frac{\frac{5 π}{3}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{3 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{5 π}{6}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{5 π}{6} + πn

x = \frac{5 π}{6} + πn

x = \frac{5 π}{6} + πn

x = \frac{5 π}{6} + πn

x = \frac{π}{6} + πn, x = \frac{5 π}{6} + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{6} + πn, x = \frac{5 π}{6} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

sinh(y)=0

sinh (y) = 0

sin(x+pi/3)= 1/2

sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

(sin(47))/(12)=(sin(x))/(11)

\frac{sin ( 4 7 ^{\circ} )}{12} = \frac{sin ( x )}{11}

cos(2x)+sqrt(3)cos(x)=-1

cos (2 x) + 3 cos (x) = - 1

2cos(α)=sqrt(3)

2 cos (α) = 3