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Beliebt Trigonometrie >

sin(4y)+sin(6y)+cos(y)=0

Lösung

sin (4 y) + sin (6 y) + cos (y) = 0

Lösung

y = \frac{π}{2} + 2 πn, y = \frac{3 π}{2} + 2 πn, y = \frac{7 π}{30} + \frac{2 πn}{5}, y = \frac{11 π}{30} + \frac{2 πn}{5}

Grad

y = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, y = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, y = 4 2^{\circ} + 7 2^{\circ} n, y = 6 6^{\circ} + 7 2^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin (4 y) + sin (6 y) + cos (y) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (y) + sin (4 y) + sin (6 y)

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

sin (s) + sin (t) = 2 sin (\frac{s + t}{2}) cos (\frac{s - t}{2})

= cos (y) + 2 sin (\frac{4 y + 6 y}{2}) cos (\frac{4 y - 6 y}{2})

2 sin (\frac{4 y + 6 y}{2}) cos (\frac{4 y - 6 y}{2}) = 2 cos (y) sin (5 y)

2 sin (\frac{4 y + 6 y}{2}) cos (\frac{4 y - 6 y}{2})

\frac{4 y + 6 y}{2} = 5 y

\frac{4 y + 6 y}{2}

Addiere gleiche Elemente:

4 y + 6 y = 10 y

= \frac{10 y}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{10}{2} = 5

= 5 y

= 2 sin (5 y) cos (\frac{4 y - 6 y}{2})

\frac{4 y - 6 y}{2} = - y

\frac{4 y - 6 y}{2}

Addiere gleiche Elemente:

4 y - 6 y = - 2 y

= \frac{- 2 y}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 y}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - y

= 2 sin (5 y) cos (- y)

Verwende die negative Winkelidentität:

cos (- x) = cos (x)

= 2 cos (y) sin (5 y)

= cos (y) + 2 cos (y) sin (5 y)

cos (y) + 2 cos (y) sin (5 y) = 0

Faktorisiere

cos (y) + 2 cos (y) sin (5 y) : cos (y) (2 sin (5 y) + 1)

cos (y) + 2 cos (y) sin (5 y)

Klammere gleiche Terme aus

cos (y)

= cos (y) (1 + 2 sin (5 y))

cos (y) (2 sin (5 y) + 1) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (y) = 0 or 2 sin (5 y) + 1 = 0

cos (y) = 0 : y = \frac{π}{2} + 2 πn, y = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (y) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (y) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

y = \frac{π}{2} + 2 πn, y = \frac{3 π}{2} + 2 πn

y = \frac{π}{2} + 2 πn, y = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 sin (5 y) + 1 = 0 : y = \frac{7 π}{30} + \frac{2 πn}{5}, y = \frac{11 π}{30} + \frac{2 πn}{5}

2 sin (5 y) + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 sin (5 y) + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 sin (5 y) + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 sin (5 y) = - 1

2 sin (5 y) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (5 y) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( 5 y )}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

sin (5 y) = - \frac{1}{2}

sin (5 y) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (5 y) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

5 y = \frac{7 π}{6} + 2 πn, 5 y = \frac{11 π}{6} + 2 πn

5 y = \frac{7 π}{6} + 2 πn, 5 y = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Löse

5 y = \frac{7 π}{6} + 2 πn : y = \frac{7 π}{30} + \frac{2 πn}{5}

5 y = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

5

5 y = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

5

\frac{5 y}{5} = \frac{\frac{7 π}{6}}{5} + \frac{2 πn}{5}

Vereinfache

\frac{5 y}{5} = \frac{\frac{7 π}{6}}{5} + \frac{2 πn}{5}

Vereinfache

\frac{5 y}{5} : y

\frac{5 y}{5}

Teile die Zahlen:

\frac{5}{5} = 1

= y

Vereinfache

\frac{\frac{7 π}{6}}{5} + \frac{2 πn}{5} : \frac{7 π}{30} + \frac{2 πn}{5}

\frac{\frac{7 π}{6}}{5} + \frac{2 πn}{5}

\frac{\frac{7 π}{6}}{5} = \frac{7 π}{30}

\frac{\frac{7 π}{6}}{5}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{7 π}{6 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 5 = 30

= \frac{7 π}{30}

= \frac{7 π}{30} + \frac{2 πn}{5}

y = \frac{7 π}{30} + \frac{2 πn}{5}

y = \frac{7 π}{30} + \frac{2 πn}{5}

y = \frac{7 π}{30} + \frac{2 πn}{5}

Löse

5 y = \frac{11 π}{6} + 2 πn : y = \frac{11 π}{30} + \frac{2 πn}{5}

5 y = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

5

5 y = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

5

\frac{5 y}{5} = \frac{\frac{11 π}{6}}{5} + \frac{2 πn}{5}

Vereinfache

\frac{5 y}{5} = \frac{\frac{11 π}{6}}{5} + \frac{2 πn}{5}

Vereinfache

\frac{5 y}{5} : y

\frac{5 y}{5}

Teile die Zahlen:

\frac{5}{5} = 1

= y

Vereinfache

\frac{\frac{11 π}{6}}{5} + \frac{2 πn}{5} : \frac{11 π}{30} + \frac{2 πn}{5}

\frac{\frac{11 π}{6}}{5} + \frac{2 πn}{5}

\frac{\frac{11 π}{6}}{5} = \frac{11 π}{30}

\frac{\frac{11 π}{6}}{5}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{11 π}{6 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 5 = 30

= \frac{11 π}{30}

= \frac{11 π}{30} + \frac{2 πn}{5}

y = \frac{11 π}{30} + \frac{2 πn}{5}

y = \frac{11 π}{30} + \frac{2 πn}{5}

y = \frac{11 π}{30} + \frac{2 πn}{5}

y = \frac{7 π}{30} + \frac{2 πn}{5}, y = \frac{11 π}{30} + \frac{2 πn}{5}

Kombiniere alle Lösungen

y = \frac{π}{2} + 2 πn, y = \frac{3 π}{2} + 2 πn, y = \frac{7 π}{30} + \frac{2 πn}{5}, y = \frac{11 π}{30} + \frac{2 πn}{5}

Graph

Beliebte Beispiele

4cos(x)=sin^2(x)-2-3cos^2(x)

4 cos (x) = sin^{2} (x) - 2 - 3 cos^{2} (x)

50sin(x)+15cos(x)=40,0<x<pi

50 sin (x) + 15 cos (x) = 40, 0 < x < π

10sin(x)cos(x)=6cos(x)

10 sin (x) cos (x) = 6 cos (x)

sin(x)+cos(x)=sec(x)

sin (x) + cos (x) = sec (x)

sin(x)=-0.2761

sin (x) = - 0.2761