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Beliebt Trigonometrie >

sec^2(x)+tan^2(x)=5tan(x)

Lösung

sec^{2} (x) + tan^{2} (x) = 5 tan (x)

Lösung

x = 1.15759 \dots + πn, x = 0.21580 \dots + πn

Grad

x = 66.32508 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 12.36498 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sec^{2} (x) + tan^{2} (x) = 5 tan (x)

Subtrahiere

5 tan (x)

von beiden Seiten

sec^{2} (x) + tan^{2} (x) - 5 tan (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sec^{2} (x) + tan^{2} (x) - 5 tan (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

= tan^{2} (x) + 1 + tan^{2} (x) - 5 tan (x)

Vereinfache

tan^{2} (x) + 1 + tan^{2} (x) - 5 tan (x) : 2 tan^{2} (x) - 5 tan (x) + 1

tan^{2} (x) + 1 + tan^{2} (x) - 5 tan (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= tan^{2} (x) + tan^{2} (x) - 5 tan (x) + 1

Addiere gleiche Elemente:

tan^{2} (x) + tan^{2} (x) = 2 tan^{2} (x)

= 2 tan^{2} (x) - 5 tan (x) + 1

= 2 tan^{2} (x) - 5 tan (x) + 1

1 + 2 tan^{2} (x) - 5 tan (x) = 0

Löse mit Substitution

1 + 2 tan^{2} (x) - 5 tan (x) = 0

Angenommen:

tan (x) = u

1 + 2 u^{2} - 5 u = 0

1 + 2 u^{2} - 5 u = 0 : u = \frac{5 + 17}{4}, u = \frac{5 - 17}{4}

1 + 2 u^{2} - 5 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 5 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 5 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 5, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

(- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 17

(- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 5^{2} - 8

5^{2} = 25

= 25 - 8

Subtrahiere die Zahlen:

25 - 8 = 17

= 17

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 17}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 17}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 17}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 5 ) + 17}{2 \cdot 2} : \frac{5 + 17}{4}

\frac{- ( - 5 ) + 17}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{5 + 17}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{5 + 17}{4}

u = \frac{- ( - 5 ) - 17}{2 \cdot 2} : \frac{5 - 17}{4}

\frac{- ( - 5 ) - 17}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{5 - 17}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{5 - 17}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{5 + 17}{4}, u = \frac{5 - 17}{4}

Setze in

u = tan (x)

ein

tan (x) = \frac{5 + 17}{4}, tan (x) = \frac{5 - 17}{4}

tan (x) = \frac{5 + 17}{4}, tan (x) = \frac{5 - 17}{4}

tan (x) = \frac{5 + 17}{4} : x = arctan (\frac{5 + 17}{4}) + πn

tan (x) = \frac{5 + 17}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = \frac{5 + 17}{4}

Allgemeine Lösung für

tan (x) = \frac{5 + 17}{4}

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (\frac{5 + 17}{4}) + πn

x = arctan (\frac{5 + 17}{4}) + πn

tan (x) = \frac{5 - 17}{4} : x = arctan (\frac{5 - 17}{4}) + πn

tan (x) = \frac{5 - 17}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = \frac{5 - 17}{4}

Allgemeine Lösung für

tan (x) = \frac{5 - 17}{4}

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (\frac{5 - 17}{4}) + πn

x = arctan (\frac{5 - 17}{4}) + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arctan (\frac{5 + 17}{4}) + πn, x = arctan (\frac{5 - 17}{4}) + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.15759 \dots + πn, x = 0.21580 \dots + πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)= 9/12

sin (x) = \frac{9}{12}

-2cos(x)+3sin(x)=2

- 2 cos (x) + 3 sin (x) = 2

cos(x+pi/6)-1=cos(x-pi/6)

cos (x + \frac{π}{6}) - 1 = cos (x - \frac{π}{6})

sin(x)= 2/7

sin (x) = \frac{2}{7}

6cos^2(x)-cos(x)-1=0

6 cos^{2} (x) - cos (x) - 1 = 0