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Popular Trigonometria >

cos(θ)=2-3sin(θ)

Solução

cos (θ) = 2 - 3 sin (θ)

Solução

θ = 0.36296 \dots + 2 πn, θ = π - 1.00646 \dots + 2 πn

Graus

θ = 20.79657 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 122.33353 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

cos (θ) = 2 - 3 sin (θ)

Elevar ambos os lados ao quadrado

cos^{2} (θ) = (2 - 3 sin (θ))^{2}

Subtrair

(2 - 3 sin (θ))^{2}

de ambos os lados

cos^{2} (θ) - 4 + 12 sin (θ) - 9 sin^{2} (θ) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 4 + cos^{2} (θ) + 12 sin (θ) - 9 sin^{2} (θ)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 + 1 - sin^{2} (θ) + 12 sin (θ) - 9 sin^{2} (θ)

Simplificar

- 4 + 1 - sin^{2} (θ) + 12 sin (θ) - 9 sin^{2} (θ) : 12 sin (θ) - 10 sin^{2} (θ) - 3

- 4 + 1 - sin^{2} (θ) + 12 sin (θ) - 9 sin^{2} (θ)

Agrupar termos semelhantes

= - sin^{2} (θ) + 12 sin (θ) - 9 sin^{2} (θ) - 4 + 1

Somar elementos similares:

- sin^{2} (θ) - 9 sin^{2} (θ) = - 10 sin^{2} (θ)

= - 10 sin^{2} (θ) + 12 sin (θ) - 4 + 1

Somar/subtrair:

- 4 + 1 = - 3

= 12 sin (θ) - 10 sin^{2} (θ) - 3

= 12 sin (θ) - 10 sin^{2} (θ) - 3

- 3 - 10 sin^{2} (θ) + 12 sin (θ) = 0

Usando o método de substituição

- 3 - 10 sin^{2} (θ) + 12 sin (θ) = 0

Sea:

sin (θ) = u

- 3 - 10 u^{2} + 12 u = 0

- 3 - 10 u^{2} + 12 u = 0 : u = \frac{6 - 6}{10}, u = \frac{6 + 6}{10}

- 3 - 10 u^{2} + 12 u = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 10 u^{2} + 12 u - 3 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 10 u^{2} + 12 u - 3 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 10, b = 12, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- 12 \pm 1 2 ^{2} - 4 ( - 10 ) ( - 3 )}{2 ( - 10 )}

u_{1, 2} = \frac{- 12 \pm 1 2 ^{2} - 4 ( - 10 ) ( - 3 )}{2 ( - 10 )}

1 2^{2} - 4 (- 10) (- 3) = 26

1 2^{2} - 4 (- 10) (- 3)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 1 2^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3

Multiplicar os números:

4 \cdot 10 \cdot 3 = 120

= 1 2^{2} - 120

1 2^{2} = 144

= 144 - 120

Subtrair:

144 - 120 = 24

= 24

Decomposição em fatores primos de

24 : 2^{3} \cdot 3

24

24

dividida por

224 = 12 \cdot 2

= 2 \cdot 12

12

dividida por

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 6

6

dividida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 3

Aplicar as propriedades dos radicais:

= 2^{2} 2 \cdot 3

Aplicar as propriedades dos radicais:

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 3

Simplificar

= 26

u_{1, 2} = \frac{- 12 \pm 2 6}{2 ( - 10 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 12 + 2 6}{2 ( - 10 )}, u_{2} = \frac{- 12 - 2 6}{2 ( - 10 )}

u = \frac{- 12 + 2 6}{2 ( - 10 )} : \frac{6 - 6}{10}

\frac{- 12 + 2 6}{2 ( - 10 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 12 + 2 6}{- 2 \cdot 10}

Multiplicar os números:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 12 + 2 6}{- 20}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 12 + 26 = - (12 - 26)

= \frac{12 - 2 6}{20}

Fatorar

12 - 26 : 2 (6 - 6)

12 - 26

Reescrever como

= 2 \cdot 6 - 26

Fatorar o termo comum

2

= 2 (6 - 6)

= \frac{2 ( 6 - 6 )}{20}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{6 - 6}{10}

u = \frac{- 12 - 2 6}{2 ( - 10 )} : \frac{6 + 6}{10}

\frac{- 12 - 2 6}{2 ( - 10 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 12 - 2 6}{- 2 \cdot 10}

Multiplicar os números:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 12 - 2 6}{- 20}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 12 - 26 = - (12 + 26)

= \frac{12 + 2 6}{20}

Fatorar

12 + 26 : 2 (6 + 6)

12 + 26

Reescrever como

= 2 \cdot 6 + 26

Fatorar o termo comum

2

= 2 (6 + 6)

= \frac{2 ( 6 + 6 )}{20}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{6 + 6}{10}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{6 - 6}{10}, u = \frac{6 + 6}{10}

Substituir na equação

u = sin (θ)

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}, sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}, sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10} : θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

Soluções gerais para

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10} : θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}

Soluções gerais para

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

cos (θ) = 2 - 3 sin (θ)

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn :

Verdadeiro

arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

Para

cos (θ) = 2 - 3 sin (θ)

inserir

θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

cos (arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1) = 2 - 3 sin (arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1)

Simplificar

0.93484 \dots = 0.93484 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn :

Falso

π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

Inserir

n = 1

π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

Para

cos (θ) = 2 - 3 sin (θ)

inserir

θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

cos (π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1) = 2 - 3 sin (π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1)

Simplificar

- 0.93484 \dots = 0.93484 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn :

Falso

arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

Para

cos (θ) = 2 - 3 sin (θ)

inserir

θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

cos (arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1) = 2 - 3 sin (arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1)

Simplificar

0.53484 \dots = - 0.53484 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn :

Verdadeiro

π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

Inserir

n = 1

π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

Para

cos (θ) = 2 - 3 sin (θ)

inserir

θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

cos (π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1) = 2 - 3 sin (π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1)

Simplificar

- 0.53484 \dots = - 0.53484 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

θ = 0.36296 \dots + 2 πn, θ = π - 1.00646 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

sin(θ)=(sqrt(6))/5

sin(θ)=0.6367+0.1*cos(θ)

sec(x)+tan(x)=sqrt(3)

cos(x)= 10/21

sqrt(3)tan^2(θ)+2tan(θ)-sqrt(3)=0