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Beliebt Trigonometrie >

cos(2x)=sqrt(1-sin^2(2x)),0<= x<= 2pi

Lösung

cos (2 x) = 1 - sin^{2} (2 x), 0 \leq x \leq 2 π

Lösung

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Schritte zur Lösung

cos (2 x) = 1 - sin^{2} (2 x), 0 \leq x \leq 2 π

Subtrahiere

1 - sin^{2} (2 x)

von beiden Seiten

cos (2 x) - 1 - sin^{2} (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (2 x) - 1 - sin^{2} (2 x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= cos (2 x) - cos^{2} (2 x)

cos (2 x) - cos^{2} (2 x) = 0

Löse mit Substitution

cos (2 x) - cos^{2} (2 x) = 0

Angenommen:

cos (2 x) = u

u - u^{2} = 0

u - u^{2} = 0 : u \geq 0

u - u^{2} = 0

Quadratwurzeln entfernen

u - u^{2} = 0

Subtrahiere

u

von beiden Seiten

u - u^{2} - u = 0 - u

Vereinfache

- u^{2} = - u

Quadriere beide Seiten:

u^{2} = u^{2}

u - u^{2} = 0

(- u^{2})^{2} = (- u)^{2}

Schreibe

(- u^{2})^{2}

um:

u^{2}

(- u^{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- u^{2})^{2} = (u^{2})^{2}

= (u^{2})^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((u^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (u^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= u^{2}

Schreibe

(- u)^{2}

um:

u^{2}

(- u)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- u)^{2} = u^{2}

= u^{2}

u^{2} = u^{2}

u^{2} = u^{2}

u^{2} = u^{2}

Beide Seiten sind gleich

Wahr f \overset{u}{¨} r alle u

Überprüfe die Lösungen:

u < 0

Falsch

, u = 0

Wahr

, u > 0

Wahr

u - u^{2} = 0

Füge das Domänenintervall mit dem Lösungsintervall zusammen:

Wahr f \overset{u}{¨} r alle u

Finde die Funktionsintervalle:

u < 0, u = 0, u > 0

u - u^{2} = 0

Finde die geraden Wurzelargumente the even roots arguments zeroes:

Löse

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

u = 0

Die Intervalle sind um die Nullen herum definiert.

u < 0, u = 0, u > 0

Kombiniere die Intervalle mit dem Bereich

u < 0, u = 0, u > 0

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

u - u^{2} = 0

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Setze ein

u < 0 : u - u^{2} \neq = 0 \Rightarrow

falsch

Deshalb ist die Lösung

u \geq 0

Setze in

u = cos (2 x)

ein

cos (2 x) \geq 0

cos (2 x) \geq 0

cos (2 x) = u \geq 0, 0 \leq x \leq 2 π :

Keine Lösung

cos (2 x) = u \geq 0, 0 \leq x \leq 2 π

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (2 x) = u \geq 0

Allgemeine Lösung für

cos (2 x) = u \geq 0

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = - arccos (a) + 2 πn

2 x = arccos (u \geq 0) + 2 πn, 2 x = - arccos (u \geq 0) + 2 πn

2 x = arccos (u \geq 0) + 2 πn, 2 x = - arccos (u \geq 0) + 2 πn

Keine L \overset{o}{¨} sung

Lösungen für den Bereich

0 \leq x \leq 2 π

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Graph

Beliebte Beispiele

sqrt(2)=sec(x)tan(x)

2 = sec (x) tan (x)

cos(x)= 9/13

cos (x) = \frac{9}{13}

8sin^2(x)-10cos(x)-11=0

8 sin^{2} (x) - 10 cos (x) - 11 = 0

|tan(x)|=1,0<= x<= 2pi

∣ tan (x) ∣ = 1, 0 \leq x \leq 2 π

cos(x+90)=sin(x)+1

cos (x + 9 0^{\circ}) = sin (x) + 1