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Beliebt Trigonometrie >

(tan(315)-cos(780))/(tan(-135)-sin(210))

Lösung

\frac{tan ( 31 5 ^{\circ} ) - cos ( 78 0 ^{\circ} )}{tan ( - 13 5 ^{\circ} ) - sin ( 21 0 ^{\circ} )}

Lösung

- 1

Schritte zur Lösung

\frac{tan ( 31 5 ^{\circ} ) - cos ( 78 0 ^{\circ} )}{tan ( - 13 5 ^{\circ} ) - sin ( 21 0 ^{\circ} )}

Verwende die folgende Eigenschaft:

tan (- x) = - tan (x)

tan (- 13 5^{\circ}) = - tan (13 5^{\circ})

= \frac{tan ( 31 5 ^{\circ} ) - cos ( 78 0 ^{\circ} )}{- tan ( 13 5 ^{\circ} ) - sin ( 21 0 ^{\circ} )}

tan (31 5^{\circ}) = tan (13 5^{\circ})

tan (31 5^{\circ})

Schreibe

31 5^{\circ}

um:

18 0^{\circ} + 13 5^{\circ}

= tan (18 0^{\circ} + 13 5^{\circ})

Verwende die Periodizität von

tan

tan (x + 18 0^{\circ}) = tan (x)

tan (18 0^{\circ} + 13 5^{\circ}) = tan (13 5^{\circ})

= tan (13 5^{\circ})

= \frac{tan ( 13 5 ^{\circ} ) - cos ( 78 0 ^{\circ} )}{- tan ( 13 5 ^{\circ} ) - sin ( 21 0 ^{\circ} )}

cos (78 0^{\circ}) = cos (6 0^{\circ})

cos (78 0^{\circ})

Schreibe

78 0^{\circ}

um:

36 0^{\circ} \cdot 2 + 6 0^{\circ}

= cos (36 0^{\circ} 2 + 6 0^{\circ})

Verwende die Periodizität von

cos

cos (x + 36 0^{\circ} \cdot k) = cos (x)

cos (36 0^{\circ} \cdot 2 + 6 0^{\circ}) = cos (6 0^{\circ})

= cos (6 0^{\circ})

= \frac{tan ( 13 5 ^{\circ} ) - cos ( 6 0 ^{\circ} )}{- tan ( 13 5 ^{\circ} ) - sin ( 21 0 ^{\circ} )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

tan (13 5^{\circ}) = - 1

tan (13 5^{\circ})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

\frac{sin ( 13 5 ^{\circ} )}{cos ( 13 5 ^{\circ} )}

tan (13 5^{\circ})

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 13 5 ^{\circ} )}{cos ( 13 5 ^{\circ} )}

= \frac{sin ( 13 5 ^{\circ} )}{cos ( 13 5 ^{\circ} )}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (13 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

sin (13 5^{\circ})

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= \frac{2}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (13 5^{\circ}) = - \frac{2}{2}

cos (13 5^{\circ})

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - \frac{2}{2}

= \frac{\frac{2}{2}}{- \frac{2}{2}}

Vereinfache

\frac{\frac{2}{2}}{- \frac{2}{2}} : - 1

\frac{\frac{2}{2}}{- \frac{2}{2}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{2}{2}}{\frac{2}{2}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= - \frac{2 \cdot 2}{2 2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - 1

= - 1

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (6 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

cos (6 0^{\circ})

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{1}{2}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

sin (21 0^{\circ}) = - \frac{1}{2}

sin (21 0^{\circ})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

sin (18 0^{\circ}) cos (3 0^{\circ}) + cos (18 0^{\circ}) sin (3 0^{\circ})

sin (21 0^{\circ})

Schreibe

sin (21 0^{\circ})

als

sin (18 0^{\circ} + 3 0^{\circ})

= sin (18 0^{\circ} + 3 0^{\circ})

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (18 0^{\circ}) cos (3 0^{\circ}) + cos (18 0^{\circ}) sin (3 0^{\circ})

= sin (18 0^{\circ}) cos (3 0^{\circ}) + cos (18 0^{\circ}) sin (3 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (18 0^{\circ}) = 0

sin (18 0^{\circ})

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= 0

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (3 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

cos (3 0^{\circ})

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (18 0^{\circ}) = (- 1)

cos (18 0^{\circ})

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= (- 1)

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (3 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

sin (3 0^{\circ})

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= \frac{1}{2}

= 0 \cdot \frac{3}{2} + (- 1) \frac{1}{2}

Vereinfache

= - \frac{1}{2}

= \frac{- 1 - \frac{1}{2}}{- ( - 1 ) - ( - \frac{1}{2} )}

Vereinfache

\frac{- 1 - \frac{1}{2}}{- ( - 1 ) - ( - \frac{1}{2} )} : - 1

\frac{- 1 - \frac{1}{2}}{- ( - 1 ) - ( - \frac{1}{2} )}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{- 1 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}}

Füge

1 + \frac{1}{2}

zusammen:

\frac{3}{2}

1 + \frac{1}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 + 1}{2}

1 \cdot 2 + 1 = 3

1 \cdot 2 + 1

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= 2 + 1

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 3

= \frac{3}{2}

= \frac{- 1 - \frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}

Füge

- 1 - \frac{1}{2}

zusammen:

- \frac{3}{2}

- 1 - \frac{1}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}

- 1 \cdot 2 - 1 = - 3

- 1 \cdot 2 - 1

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= - 2 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

- 2 - 1 = - 3

= - 3

= \frac{- 3}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3}{2}

= \frac{- \frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= - \frac{2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - 1

= - 1

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