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Beliebt Trigonometrie >

sin(x)<= sin^2(x)<= (sqrt(3))/2 sin(x)

Lösung

sin (x) \leq sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

Lösung

x = π + 2 πn

Dezimale

x = 3.14159 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

sin (x) \leq sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

sin (x) \leq sin^{2} (x) and sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

sin (x) \leq sin^{2} (x) : x = \frac{π}{2} + 2 πn or - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin (x) \leq sin^{2} (x)

Angenommen:

u = sin (x)

u \leq u^{2}

u \leq u^{2} : u \leq 0 or u \geq 1

u \leq u^{2}

Rewrite in standard form

u \leq u^{2}

Subtrahiere

u^{2}

von beiden Seiten

u - u^{2} \leq u^{2} - u^{2}

Vereinfache

u - u^{2} \leq 0

u - u^{2} \leq 0

Faktorisiere

u - u^{2} : - u (u - 1)

u - u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - uu + u

Klammere gleiche Terme aus

- u

= - u (u - 1)

- u (u - 1) \leq 0

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

(drehe die Ungleichung um)

(- u (u - 1)) (- 1) \geq 0 \cdot (- 1)

Vereinfache

u (u - 1) \geq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

u (u - 1)

Finde die Vorzeichen von

u

u = 0

u < 0

u > 0

Finde die Vorzeichen von

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

u > 1

u > 1

Fasse in einer Tabelle zusammen:

u u - 1 u (u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\geq 0

u < 0 or u = 0 or u = 1 or u > 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

u \leq 0 or u = 1 or u > 1

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u < 0

oder

u = 0

u \leq 0

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u \leq 0

oder

u = 1

u \leq 0 or u = 1

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u \leq 0 or u = 1

oder

u > 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) \leq 0 or sin (x) \geq 1

sin (x) \leq 0 : - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin (x) \leq 0

Für

sin (x) \leq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn \leq x \leq arcsin (0) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Vereinfache

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn \leq x \leq 0 + 2 πn

Vereinfache

- π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin (x) \geq 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) \geq 1

Für

sin (x) \geq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (1) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (1) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (1) : \frac{π}{2}

arcsin (1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

Vereinfache

π - arcsin (1) : \frac{π}{2}

π - arcsin (1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{2}

Vereinfache

π - \frac{π}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 2}{2}

= \frac{π 2}{2} - \frac{π}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 - π}{2}

Addiere gleiche Elemente:

2 π - π = π

= \frac{π}{2}

= \frac{π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

Vereinfache

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

- π + 2 πn \leq x \leq 2 πn or x = \frac{π}{2} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

x = \frac{π}{2} + 2 πn or - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x) : 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

Angenommen:

u = sin (x)

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

u^{2} \leq \frac{3}{2} u : 0 \leq u \leq \frac{3}{2}

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

Rewrite in standard form

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

Subtrahiere

\frac{3}{2} u

von beiden Seiten

u^{2} - \frac{3}{2} u \leq \frac{3}{2} u - \frac{3}{2} u

Vereinfache

u^{2} - \frac{3}{2} u \leq 0

Multipliziere beide Seiten mit

2

u^{2} \cdot 2 - \frac{3}{2} u \cdot 2 \leq 0 \cdot 2

2 u^{2} - 3 u \leq 0

2 u^{2} - 3 u \leq 0

Faktorisiere

2 u^{2} - 3 u : u (2 u - 3)

2 u^{2} - 3 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - 3 u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (2 u - 1 \cdot 2 3)

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= u (2 u - 3)

u (2 u - 3) \leq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

u (2 u - 3)

Finde die Vorzeichen von

u

u = 0

u < 0

u > 0

Finde die Vorzeichen von

2 u - 3

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 u - 3 = 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Vereinfache

2 u = 3

2 u = 3

Teile beide Seiten durch

2

2 u = 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Vereinfache

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0 : u < \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 u - 3 < 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 3 + 3 < 0 + 3

Vereinfache

2 u < 3

2 u < 3

Teile beide Seiten durch

2

2 u < 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

Vereinfache

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0 : u > \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 u - 3 > 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 3 + 3 > 0 + 3

Vereinfache

2 u > 3

2 u > 3

Teile beide Seiten durch

2

2 u > 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

Vereinfache

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

Fasse in einer Tabelle zusammen:

u 2 u - 3 u (2 u - 3) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < \frac{3}{2} + - - u = \frac{3}{2} + 00 u > \frac{3}{2} + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\leq 0

u = 0 or 0 < u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

0 \leq u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u = 0

oder

0 < u < \frac{3}{2}

0 \leq u < \frac{3}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

0 \leq u < \frac{3}{2}

oder

u = \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

0 \leq sin (x) \leq \frac{3}{2}

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

0 \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{3}{2}

0 \leq sin (x) : 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

0 \leq sin (x)

Tausche die Seiten

sin (x) \geq 0

Für

sin (x) \geq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (0) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

Vereinfache

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Vereinfache

2 πn \leq x \leq π + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2} : - \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2}

Für

sin (x) \leq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (\frac{3}{2}) : - \frac{4 π}{3}

- π - arcsin (\frac{3}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{3}

Vereinfache

- π - \frac{π}{3}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 3}{3}

= - \frac{π 3}{3} - \frac{π}{3}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 - π}{3}

Addiere gleiche Elemente:

- 3 π - π = - 4 π

= \frac{- 4 π}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 π}{3}

= - \frac{4 π}{3}

Vereinfache

arcsin (\frac{3}{2}) : \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

2 πn \leq x \leq π + 2 πn and - \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

(x = \frac{π}{2} + 2 πn or - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn) and (2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn)

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

x = π + 2 πn

Beliebte Beispiele

-1<= cos(x-pi/4)<= 1

- 1 \leq cos (x - \frac{π}{4}) \leq 1

sin(θ)=13\land 0<θ<pi^2,2θ

sin (θ) = 13 and 0 < θ < π^{2}, 2 θ

sin(7)(x)<sin(2)(x)+cos(7)(x)<cos(2)(x)

sin (7) (x) < sin (2) (x) + cos (7) (x) < cos (2) (x)

0<sin(x)<1

0 < sin (x) < 1

tan(θ)=-5/2 \land cos(θ)<0

tan (θ) = - \frac{5}{2} and cos (θ) < 0