English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

sin(x)<cos(x)<tan(x)

פתרון

sin (x) < cos (x) < tan (x)

פתרון

0.66623 \dots + 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

סימון מרווחים

(0.66623 \dots + 2 πn, \frac{π}{4} + 2 πn) \cup (\frac{5 π}{4} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn)

עשרוני

0.66623 \dots + 2 πn < x < 0.78539 \dots + 2 πn or 3.92699 \dots + 2 πn < x < 4.71238 \dots + 2 πn

צעדי פתרון

sin (x) < cos (x) < tan (x)

a < u and u < b

אז

a < u < b

אם

sin (x) < cos (x) and cos (x) < tan (x)

sin (x) < cos (x) : - \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn

sin (x) < cos (x)

לצד שמאל

cos (x)

העבר

sin (x) < cos (x)

משני האגפים

cos (x)

החסר

sin (x) - cos (x) < cos (x) - cos (x)

sin (x) - cos (x) < 0

sin (x) - cos (x) < 0

- cos (x) + sin (x) = - 2 cos (\frac{π}{4} + x)

:השתמש בזהות הבאה

- 2 cos (\frac{π}{4} + x) < 0

- 1

הכפל את שני האגפים ב

- 2 cos (\frac{π}{4} + x) < 0

והפוך את סימן אי-השוויון

- 1

הכפל את שני האגפים ב

(- 2 cos (\frac{π}{4} + x)) (- 1) > 0 \cdot (- 1)

פשט

2 cos (\frac{π}{4} + x) > 0

2 cos (\frac{π}{4} + x) > 0

2

חלק את שני האגפים ב

2 cos (\frac{π}{4} + x) > 0

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 cos ( \frac{π}{4} + x )}{2} > \frac{0}{2}

פשט

cos (\frac{π}{4} + x) > 0

cos (\frac{π}{4} + x) > 0

For

cos (x) > a

, if

- 1 \leq a < 1

then

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn < (\frac{π}{4} + x) < arccos (0) + 2 πn

a < u and u < b

אז

a < u < b

אם

- arccos (0) + 2 πn < \frac{π}{4} + x and \frac{π}{4} + x < arccos (0) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn < \frac{π}{4} + x : x > 2 πn - \frac{3 π}{4}

- arccos (0) + 2 πn < \frac{π}{4} + x

הפוך את האגפים

\frac{π}{4} + x > - arccos (0) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn

פשט את:

- \frac{π}{2} + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2} + 2 πn

\frac{π}{4} + x > - \frac{π}{2} + 2 πn

לצד ימין

\frac{π}{4}

העבר

\frac{π}{4} + x > - \frac{π}{2} + 2 πn

משני האגפים

\frac{π}{4}

החסר

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} > - \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

פשט

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} > - \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4}

פשט את:

x

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4}

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} > 0 :

חבר איברים דומים

= x

- \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

פשט את:

2 πn - \frac{3 π}{4}

- \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

קבץ ביטויים דומים יחד

= 2 πn - \frac{π}{2} - \frac{π}{4}

2, 4

הכפולה המשותפת המינימלית של:

4

2, 4

כפולה משותפת מינימלית

2

פירוק לגורמים ראשוניים של:

2

2

הוא מספר ראשוני לכן פירוק לגורמים אינו אפשרי

2

= 2

4

פירוק לגורמים ראשוניים של:

2 \cdot 2

4

4 = 2 \cdot 2, 2

מתחלק ב

4

= 2 \cdot 2

4

או

2

חשב מספר שמורכב מגורמים ראשוניים שמופיעים ב

= 2 \cdot 2

2 \cdot 2 = 4 :

הכפל את המספרים

= 4

כתוב מחדש את השברים כך שהמכנה יהיה משותף

4

הכפל כל מונה ומכנה בביטוי שיביא לכך שהמכנה יהיה משותף

2

הכפל את המכנה והמונה ב

: \frac{π}{2}

עבור

\frac{π}{2} = \frac{π 2}{2 \cdot 2} = \frac{π 2}{4}

= - \frac{π 2}{4} - \frac{π}{4}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{- π 2 - π}{4}

- 2 π - π = - 3 π :

חבר איברים דומים

= \frac{- 3 π}{4}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= 2 πn - \frac{3 π}{4}

x > 2 πn - \frac{3 π}{4}

x > 2 πn - \frac{3 π}{4}

x > 2 πn - \frac{3 π}{4}

\frac{π}{4} + x < arccos (0) + 2 πn : x < 2 πn + \frac{π}{4}

\frac{π}{4} + x < arccos (0) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn

פשט את:

\frac{π}{2} + 2 πn

arccos (0) + 2 πn

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2} + 2 πn

\frac{π}{4} + x < \frac{π}{2} + 2 πn

לצד ימין

\frac{π}{4}

העבר

\frac{π}{4} + x < \frac{π}{2} + 2 πn

משני האגפים

\frac{π}{4}

החסר

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} < \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

פשט

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} < \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4}

פשט את:

x

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4}

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} < 0 :

חבר איברים דומים

= x

\frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

פשט את:

2 πn + \frac{π}{4}

\frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

קבץ ביטויים דומים יחד

= 2 πn + \frac{π}{2} - \frac{π}{4}

2, 4

הכפולה המשותפת המינימלית של:

4

2, 4

כפולה משותפת מינימלית

2

פירוק לגורמים ראשוניים של:

2

2

הוא מספר ראשוני לכן פירוק לגורמים אינו אפשרי

2

= 2

4

פירוק לגורמים ראשוניים של:

2 \cdot 2

4

4 = 2 \cdot 2, 2

מתחלק ב

4

= 2 \cdot 2

4

או

2

חשב מספר שמורכב מגורמים ראשוניים שמופיעים ב

= 2 \cdot 2

2 \cdot 2 = 4 :

הכפל את המספרים

= 4

כתוב מחדש את השברים כך שהמכנה יהיה משותף

4

הכפל כל מונה ומכנה בביטוי שיביא לכך שהמכנה יהיה משותף

2

הכפל את המכנה והמונה ב

: \frac{π}{2}

עבור

\frac{π}{2} = \frac{π 2}{2 \cdot 2} = \frac{π 2}{4}

= \frac{π 2}{4} - \frac{π}{4}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{π 2 - π}{4}

2 π - π = π :

חבר איברים דומים

= 2 πn + \frac{π}{4}

x < 2 πn + \frac{π}{4}

x < 2 πn + \frac{π}{4}

x < 2 πn + \frac{π}{4}

אחד את הטווחים

x > 2 πn - \frac{3 π}{4} and x < 2 πn + \frac{π}{4}

מזג טווחים חופפים

- \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn

cos (x) < tan (x) : 0.66623 \dots + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or π - 0.66623 \dots + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) < tan (x)

לצד שמאל

tan (x)

העבר

cos (x) < tan (x)

משני האגפים

tan (x)

החסר

cos (x) - tan (x) < tan (x) - tan (x)

cos (x) - tan (x) < 0

cos (x) - tan (x) < 0

cos (x) - tan (x)

מחזוריות של:

2 π

The compound periodicity of the sum of periodic functions is the least common multiplier of the periods

cos (x), tan (x)

cos (x)

מחזוריות של:

2 π

2 π

היא

cos (x)

המחזוריות של

= 2 π

tan (x)

מחזוריות של:

π

π

היא

tan (x)

המחזוריות של

= π

Combine periods:

2 π, π

= 2 π

sin, cos :

בטא באמצאות

cos (x) - tan (x) < 0

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

cos (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} < 0

cos (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} < 0

cos (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

פשט את:

\frac{cos ^{2} ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

cos (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

cos (x) = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{cos ( x ) cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

cos (x) cos (x) - sin (x) = cos^{2} (x) - sin (x)

cos (x) cos (x) - sin (x)

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:הפעל את חוק החזקות

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

1 + 1 = 2 :

חבר את המספרים

= cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) - sin (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{cos ^{2} ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} < 0

Find the zeroes and undifined points of

\frac{cos ^{2} ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

for

0 \leq x < 2 π

To find the zeroes, set the inequality to zero

\frac{cos ^{2} ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{cos ^{2} ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0.66623 \dots, x = π - 0.66623 \dots

\frac{cos ^{2} ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos^{2} (x) - sin (x) = 0

Rewrite using trig identities

cos^{2} (x) - sin (x)

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:הפעל זהות פיטגורית

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 - sin^{2} (x) - sin (x)

1 - sin (x) - sin^{2} (x) = 0

בעזרת שיטת ההצבה

1 - sin (x) - sin^{2} (x) = 0

sin (x) = u :

נניח ש

1 - u - u^{2} = 0

1 - u - u^{2} = 0 : u = - \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{5 - 1}{2}

1 - u - u^{2} = 0

a x^{2} + b x + c = 0

כתוב בצורה הסטנדרטית

- u^{2} - u + 1 = 0

פתור בעזרת הנוסחה הריבועית

- u^{2} - u + 1 = 0

הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית

a = - 1, b = - 1, c = 1

עבור

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 5

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

- (- a) = a

הפעל את החוק

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

זוגי n

אם

, (- a)^{n} = a^{n}

:הפעל את חוק החזקות

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

1^{a} = 1

הפעל את החוק

= 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 :

הכפל את המספרים

= 4

= 1 + 4

1 + 4 = 5 :

חבר את המספרים

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 5}{2 ( - 1 )}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 ( - 1 )} : - \frac{1 + 5}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 5}{2 ( - 1 )}

(- a) = - a, - (- a) = a

:הסר סוגריים

= \frac{1 + 5}{- 2 \cdot 1}

2 \cdot 1 = 2 :

הכפל את המספרים

= \frac{1 + 5}{- 2}

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= - \frac{1 + 5}{2}

u = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 ( - 1 )} : \frac{5 - 1}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 5}{2 ( - 1 )}

(- a) = - a, - (- a) = a

:הסר סוגריים

= \frac{1 - 5}{- 2 \cdot 1}

2 \cdot 1 = 2 :

הכפל את המספרים

= \frac{1 - 5}{- 2}

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

1 - 5 = - (5 - 1)

= \frac{5 - 1}{2}

הפתרונות למשוואה הריבועית הם

u = - \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{5 - 1}{2}

u = sin (x)

החלף בחזרה

sin (x) = - \frac{1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{5 - 1}{2}

sin (x) = - \frac{1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{5 - 1}{2}

sin (x) = - \frac{1 + 5}{2}, 0 \leq x < 2 π :

אין פתרון

sin (x) = - \frac{1 + 5}{2}, 0 \leq x < 2 π

- 1 \leq sin (x) \leq 1

אין פתרון

sin (x) = \frac{5 - 1}{2}, 0 \leq x < 2 π : x = arcsin (\frac{5 - 1}{2}), x = π - arcsin (\frac{5 - 1}{2})

sin (x) = \frac{5 - 1}{2}, 0 \leq x < 2 π

Apply trig inverse properties

sin (x) = \frac{5 - 1}{2}

sin (x) = \frac{5 - 1}{2} :

פתרונות כלליים עבור

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

0 \leq x < 2 π :

פתרונות עבור הטווח

x = arcsin (\frac{5 - 1}{2}), x = π - arcsin (\frac{5 - 1}{2})

אחד את הפתרונות

x = arcsin (\frac{5 - 1}{2}), x = π - arcsin (\frac{5 - 1}{2})

הראה פיתרון ביצוג עשרוני

x = 0.66623 \dots, x = π - 0.66623 \dots

Find the undefined points:

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

Find the zeros of the denominator

cos (x) = 0

cos (x) = 0 :

פתרונות כלליים עבור

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

0 \leq x < 2 π :

פתרונות עבור הטווח

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

0.66623 \dots, \frac{π}{2}, π - 0.66623 \dots, \frac{3 π}{2}

זהה את הטווחים השונים

0 < x < 0.66623 \dots, 0.66623 \dots < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < π - 0.66623 \dots, π - 0.66623 \dots < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < 2 π

סכם בטבלה

cos^{2} (x) - sin (x) cos (x) \frac{c o s ^{2} ( x ) - s i n ( x )}{c o s ( x )} x = 0 + + + 0 < x < 0.66623 \dots + + + x = 0.66623 \dots 0 + 0 0.66623 \dots < x < \frac{π}{2} - + - x = \frac{π}{2} - 0 לא מוגדר \frac{π}{2} < x < π - 0.66623 \dots - - + x = π - 0.66623 \dots 0 - 0 π - 0.66623 \dots < x < \frac{3 π}{2} + - - x = \frac{3 π}{2} + 0 לא מוגדר \frac{3 π}{2} < x < 2 π + + + x = 2 π + + +

< 0 :

בחירת הטווחים המקיימים את התנאי

0.66623 \dots < x < \frac{π}{2} or π - 0.66623 \dots < x < \frac{3 π}{2}

cos (x) - tan (x) :

השתמש במזוריות של

0.66623 \dots + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or π - 0.66623 \dots + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

אחד את הטווחים

- \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn and (0.66623 \dots + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or π - 0.66623 \dots + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn)

מזג טווחים חופפים

0.66623 \dots + 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

דוגמאות פופולריות

sin(x)0<= x<= 2pi

sin (x) 0 \leq x \leq 2 π

-pi/2 <sin(x)< pi/2

- \frac{π}{2} < sin (x) < \frac{π}{2}

sin(2x)>= 0\land cos(x)>0

sin (2 x) \geq 0 and cos (x) > 0

cos(x)= 5/13 \land sin(x)<0,tan(2x)

cos (x) = \frac{5}{13} and sin (x) < 0, tan (2 x)

sin(θ)sec(θ)>0\land sin(θ)<4

sin (θ) sec (θ) > 0 and sin (θ) < 4