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Beliebt Trigonometrie >

cosh(θ)= 26/7 \land θ<0,sinh(θ)

Lösung

cosh (θ) = \frac{26}{7} and θ < 0, sinh (θ)

Lösung

θ = ln (\frac{26 - 627}{7})

Dezimale

θ = - 1.98669 \dots

Schritte zur Lösung

cosh (θ) = \frac{26}{7} and θ < 0

cosh (θ) = \frac{26}{7} : θ = ln (\frac{26 + 627}{7}), θ = ln (\frac{26 - 627}{7})

cosh (θ) = \frac{26}{7}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cosh (θ) = \frac{26}{7}

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{26}{7}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{26}{7}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{26}{7} : θ = ln (\frac{26 + 627}{7}), θ = ln (\frac{26 - 627}{7})

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{26}{7}

Wende die Regeln für Multipikation bei Brüchen an: Wenn

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

dann

a \cdot d = b \cdot c

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 7 = 2 \cdot 26

Vereinfache

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 7 = 52

Wende Exponentenregel an

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 7 = 52

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- θ} = (e^{θ})^{- 1}

(e^{θ} + (e^{θ})^{- 1}) \cdot 7 = 52

(e^{θ} + (e^{θ})^{- 1}) \cdot 7 = 52

Schreibe die Gleichung um mit

e^{θ} = u

(u + (u)^{- 1}) \cdot 7 = 52

Löse

(u + u^{- 1}) \cdot 7 = 52 : u = \frac{26 + 627}{7}, u = \frac{26 - 627}{7}

(u + u^{- 1}) \cdot 7 = 52

Fasse zusammen

(u + \frac{1}{u}) \cdot 7 = 52

Vereinfache

(u + \frac{1}{u}) \cdot 7 : 7 (u + \frac{1}{u})

(u + \frac{1}{u}) \cdot 7

Apply the commutative law:

(u + \frac{1}{u}) \cdot 7 = 7 (u + \frac{1}{u})

7 (u + \frac{1}{u})

7 (u + \frac{1}{u}) = 52

Schreibe

7 (u + \frac{1}{u})

um:

7 u + \frac{7}{u}

7 (u + \frac{1}{u})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 7, b = u, c = \frac{1}{u}

= 7 u + 7 \cdot \frac{1}{u}

7 \cdot \frac{1}{u} = \frac{7}{u}

7 \cdot \frac{1}{u}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 7}{u}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 7 = 7

= \frac{7}{u}

= 7 u + \frac{7}{u}

7 u + \frac{7}{u} = 52

Multipliziere beide Seiten mit

u

7 u + \frac{7}{u} = 52

Multipliziere beide Seiten mit

u

7 uu + \frac{7}{u} u = 52 u

Vereinfache

7 uu + \frac{7}{u} u = 52 u

Vereinfache

7 uu : 7 u^{2}

7 uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 7 u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 7 u^{2}

Vereinfache

\frac{7}{u} u : 7

\frac{7}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{7 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 7

7 u^{2} + 7 = 52 u

7 u^{2} + 7 = 52 u

7 u^{2} + 7 = 52 u

Löse

7 u^{2} + 7 = 52 u : u = \frac{26 + 627}{7}, u = \frac{26 - 627}{7}

7 u^{2} + 7 = 52 u

Verschiebe

52 u

auf die linke Seite

7 u^{2} + 7 = 52 u

Subtrahiere

52 u

von beiden Seiten

7 u^{2} + 7 - 52 u = 52 u - 52 u

Vereinfache

7 u^{2} + 7 - 52 u = 0

7 u^{2} + 7 - 52 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

7 u^{2} - 52 u + 7 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

7 u^{2} - 52 u + 7 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 7, b = - 52, c = 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 52 ) \pm ( - 52 ) ^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 7}{2 \cdot 7}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 52 ) \pm ( - 52 ) ^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 7}{2 \cdot 7}

(- 52)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 2627

(- 52)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 7

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 52)^{2} = 5 2^{2}

= 5 2^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 7 \cdot 7 = 196

= 5 2^{2} - 196

5 2^{2} = 2704

= 2704 - 196

Subtrahiere die Zahlen:

2704 - 196 = 2508

= 2508

Primfaktorzerlegung von

2508 : 2^{2} \cdot 3 \cdot 11 \cdot 19

2508

2508

ist durch

22508 = 1254 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 1254

1254

ist durch

21254 = 627 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 627

627

ist durch

3627 = 209 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 209

209

ist durch

11209 = 19 \cdot 11

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 19

2, 3, 11, 19

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 19

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 11 \cdot 19

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 11 \cdot 19

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3 \cdot 11 \cdot 19

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3 \cdot 11 \cdot 19

Fasse zusammen

= 2627

u_{1, 2} = \frac{- ( - 52 ) \pm 2 627}{2 \cdot 7}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 52 ) + 2 627}{2 \cdot 7}, u_{2} = \frac{- ( - 52 ) - 2 627}{2 \cdot 7}

u = \frac{- ( - 52 ) + 2 627}{2 \cdot 7} : \frac{26 + 627}{7}

\frac{- ( - 52 ) + 2 627}{2 \cdot 7}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{52 + 2 627}{2 \cdot 7}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{52 + 2 627}{14}

Faktorisiere

52 + 2627 : 2 (26 + 627)

52 + 2627

Schreibe um

= 2 \cdot 26 + 2627

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (26 + 627)

= \frac{2 ( 26 + 627 )}{14}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{26 + 627}{7}

u = \frac{- ( - 52 ) - 2 627}{2 \cdot 7} : \frac{26 - 627}{7}

\frac{- ( - 52 ) - 2 627}{2 \cdot 7}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{52 - 2 627}{2 \cdot 7}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{52 - 2 627}{14}

Faktorisiere

52 - 2627 : 2 (26 - 627)

52 - 2627

Schreibe um

= 2 \cdot 26 - 2627

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (26 - 627)

= \frac{2 ( 26 - 627 )}{14}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{26 - 627}{7}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{26 + 627}{7}, u = \frac{26 - 627}{7}

u = \frac{26 + 627}{7}, u = \frac{26 - 627}{7}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

(u + u^{- 1}) 7

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = \frac{26 + 627}{7}, u = \frac{26 - 627}{7}

u = \frac{26 + 627}{7}, u = \frac{26 - 627}{7}

Setze

u = e^{θ} w i e d er e in,

löse für

θ

Löse

e^{θ} = \frac{26 + 627}{7} : θ = ln (\frac{26 + 627}{7})

e^{θ} = \frac{26 + 627}{7}

Wende Exponentenregel an

e^{θ} = \frac{26 + 627}{7}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{θ}) = ln (\frac{26 + 627}{7})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{θ}) = θ

θ = ln (\frac{26 + 627}{7})

θ = ln (\frac{26 + 627}{7})

Löse

e^{θ} = \frac{26 - 627}{7} : θ = ln (\frac{26 - 627}{7})

e^{θ} = \frac{26 - 627}{7}

Wende Exponentenregel an

e^{θ} = \frac{26 - 627}{7}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{θ}) = ln (\frac{26 - 627}{7})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{θ}) = θ

θ = ln (\frac{26 - 627}{7})

θ = ln (\frac{26 - 627}{7})

θ = ln (\frac{26 + 627}{7}), θ = ln (\frac{26 - 627}{7})

θ = ln (\frac{26 + 627}{7}), θ = ln (\frac{26 - 627}{7})

Kombiniere die Bereiche

(θ = ln (\frac{26 - 627}{7}) or θ = ln (\frac{26 + 627}{7})) and θ < 0

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

θ = ln (\frac{26 - 627}{7}) or θ = ln (\frac{26 + 627}{7}) and θ < 0

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

θ = ln (\frac{26 - 627}{7}) or θ = ln (\frac{26 + 627}{7})

und

θ < 0

θ = ln (\frac{26 - 627}{7})

θ = ln (\frac{26 - 627}{7})

Graph

Beliebte Beispiele

-pi/2 <arcsin(x)< pi/2

- \frac{π}{2} < arcsin (x) < \frac{π}{2}

(11pi)/9 <= arctan(θ)<= (13pi)/9

\frac{11 π}{9} \leq arctan (θ) \leq \frac{13 π}{9}

sin(x)=-(sqrt(3))/5 \land cos(x)>0

sin (x) = - \frac{3}{5} and cos (x) > 0

sin(x)0<= x<= pi

sin (x) 0 \leq x \leq π

x=-4\land csc(x)>0

x = - 4 and csc (x) > 0