English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

cos(2x)<cos(4x)

פתרון

cos (2 x) < cos (4 x)

פתרון

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

סימון מרווחים

(\frac{π}{3} + πn, \frac{2 π}{3} + πn)

עשרוני

1.04719 \dots + πn < x < 2.09439 \dots + πn

צעדי פתרון

cos (2 x) < cos (4 x)

לצד שמאל

cos (4 x)

העבר

cos (2 x) < cos (4 x)

משני האגפים

cos (4 x)

החסר

cos (2 x) - cos (4 x) < cos (4 x) - cos (4 x)

cos (2 x) - cos (4 x) < 0

cos (2 x) - cos (4 x) < 0

u = 2 x :

נניח ש

cos (u) - cos (2 u) < 0

cos (u) - cos (2 u) < 0 : \frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) - cos (2 u) < 0

cos (2 x) = - 1 + 2 cos^{2} (x)

:השתמש בזהות הבאה

- (- 1 + 2 cos^{2} (u)) + cos (u) < 0

פשט

1 - 2 cos^{2} (u) + cos (u) < 0

v = cos (u) :

נניח ש

1 - 2 v^{2} + v < 0

1 - 2 v^{2} + v < 0 : v < - \frac{1}{2} or v > 1

1 - 2 v^{2} + v < 0

1 - 2 v^{2} + v

פרק לגורמים את:

- (2 v + 1) (v - 1)

1 - 2 v^{2} + v

- 1

הוצא את הגורם המשותף

= - (2 v^{2} - v - 1)

2 v^{2} - v - 1

פרק לגורמים את:

(2 v + 1) (v - 1)

2 v^{2} - v - 1

a x^{2} + b x + c

כתוב בצורה הסטנדרטית

= 2 v^{2} - v - 1

חלק הביטוי לקבוצות

2 v^{2} - v - 1

הגדרה

Factors of

2 : 1, 2

2

Divisors (Factors)

Find the Prime factors of

2 : 2

2

הוא מספר ראשוני לכן פירוק לגורמים אינו אפשרי

2

= 2

Add 1

1

2

המחלקים של

1, 2

Negative factors of

2 : - 1, - 2

Multiply the factors by

- 1

to get the negative factors

- 1, - 2

For every two factors such that

u * v = - 2,

check if

u + v = - 1

Check

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

נכוןCheck

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

לא נכון

u = 1, v = - 2

Group into

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 v^{2} + v) + (- 2 v - 1)

= (2 v^{2} + v) + (- 2 v - 1)

v (2 v + 1)

2 v^{2} + v

v

הוצא את הגורם

2 v^{2} + v

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:הפעל את חוק החזקות

v^{2} = vv

= 2 vv + v

v

הוצא את הגורם המשותף

= v (2 v + 1)

- (2 v + 1)

- 2 v - 1

- 1

הוצא את הגורם

- 2 v - 1

- 1

הוצא את הגורם המשותף

= - (2 v + 1)

= v (2 v + 1) - (2 v + 1)

2 v + 1

הוצא את הגורם המשותף

= (2 v + 1) (v - 1)

= - (2 v + 1) (v - 1)

- (2 v + 1) (v - 1) < 0

Multiply both sides by

- 1

(reverse the inequality)

(- (2 v + 1) (v - 1)) (- 1) > 0 \cdot (- 1)

פשט

(2 v + 1) (v - 1) > 0

זהה את הטווחים השונים

(2 v + 1) (v - 1)

:חשב את הסימן לכל אחד מהגורמים עבור

2 v + 1

:חשב את הסימן עבור

2 v + 1 = 0 : v = - \frac{1}{2}

2 v + 1 = 0

לצד ימין

1

העבר

2 v + 1 = 0

משני האגפים

1

החסר

2 v + 1 - 1 = 0 - 1

פשט

2 v = - 1

2 v = - 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 v = - 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 v}{2} = \frac{- 1}{2}

פשט

v = - \frac{1}{2}

v = - \frac{1}{2}

2 v + 1 < 0 : v < - \frac{1}{2}

2 v + 1 < 0

לצד ימין

1

העבר

2 v + 1 < 0

משני האגפים

1

החסר

2 v + 1 - 1 < 0 - 1

פשט

2 v < - 1

2 v < - 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 v < - 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 v}{2} < \frac{- 1}{2}

פשט

v < - \frac{1}{2}

v < - \frac{1}{2}

2 v + 1 > 0 : v > - \frac{1}{2}

2 v + 1 > 0

לצד ימין

1

העבר

2 v + 1 > 0

משני האגפים

1

החסר

2 v + 1 - 1 > 0 - 1

פשט

2 v > - 1

2 v > - 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 v > - 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 v}{2} > \frac{- 1}{2}

פשט

v > - \frac{1}{2}

v > - \frac{1}{2}

v - 1

:חשב את הסימן עבור

v - 1 = 0 : v = 1

v - 1 = 0

לצד ימין

1

העבר

v - 1 = 0

לשני האגפים

1

הוסף

v - 1 + 1 = 0 + 1

פשט

v = 1

v = 1

v - 1 < 0 : v < 1

v - 1 < 0

לצד ימין

1

העבר

v - 1 < 0

לשני האגפים

1

הוסף

v - 1 + 1 < 0 + 1

פשט

v < 1

v < 1

v - 1 > 0 : v > 1

v - 1 > 0

לצד ימין

1

העבר

v - 1 > 0

לשני האגפים

1

הוסף

v - 1 + 1 > 0 + 1

פשט

v > 1

v > 1

סכם בטבלה

2 v + 1 v - 1 (2 v + 1) (v - 1) v < - \frac{1}{2} - - + v = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < v < 1 + - - v = 1 + 00 v > 1 + + +

> 0 :

בחירת הטווחים המקיימים את התנאי

v < - \frac{1}{2} or v > 1

v < - \frac{1}{2} or v > 1

v < - \frac{1}{2} or v > 1

v = cos (u)

החלף בחזרה

cos (u) < - \frac{1}{2} or cos (u) > 1

cos (u) < - \frac{1}{2} : \frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) < - \frac{1}{2}

For

cos (x) < a

, if

- 1 < a \leq 1

then

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn < u < 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2})

פשט את:

\frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

2 π - arccos (- \frac{1}{2})

פשט את:

\frac{4 π}{3}

2 π - arccos (- \frac{1}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{2 π}{3}

פשט

2 π - \frac{2 π}{3}

2 π = \frac{2 π 3}{3}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{2 π}{3}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{2 π 3 - 2 π}{3}

2 π 3 - 2 π = 4 π

2 π 3 - 2 π

2 \cdot 3 = 6 :

הכפל את המספרים

= 6 π - 2 π

6 π - 2 π = 4 π :

חבר איברים דומים

= 4 π

= \frac{4 π}{3}

= \frac{4 π}{3}

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) > 1 : u \in R

לא מתקיים לכל

cos (u) > 1

cos (u)

הטווח של:

- 1 \leq cos (u) \leq 1

הגדרת טווח הפונקציה

- 1 \leq cos (u) \leq 1

היא

cos

התמונה של הפונקציה

- 1 \leq cos (u) \leq 1

cos (u) > 1 and - 1 \leq cos (u) \leq 1 :

לא נכון

y = cos (u)

החלף

אחד את הטווחים

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

מזג טווחים חופפים

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

החיתוך של שני טווחים הוא סט המספרים אשר נמצאים בשני הטווחים

y > 1

וגם

- 1 \leq y \leq 1

y \in R לא מתקיים לכל

y \in R לא מתקיים לכל

u \in R אין פתרון ל

u \in R לא מתקיים לכל

אחד את הטווחים

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn or u \in R לא מתקיים לכל

מזג טווחים חופפים

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

2 x = u

החלף בחזרה

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn : \frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

a < u and u < b

אז

a < u < b

אם

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x and 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x : x > \frac{π}{3} + πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x

הפוך את האגפים

2 x > \frac{2 π}{3} + 2 πn

2

חלק את שני האגפים ב

2 x > \frac{2 π}{3} + 2 πn

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

פשט

\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{2 x}{2}

פשט את:

x

\frac{2 x}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= x

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

פשט את:

\frac{π}{3} + πn

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} = \frac{π}{3}

\frac{\frac{2 π}{3}}{2}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{2 π}{3 \cdot 2}

3 \cdot 2 = 6 :

הכפל את המספרים

= \frac{2 π}{6}

2 :

בטל את הגורמים המשותפים

= \frac{π}{3}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= πn

= \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn : x < \frac{2 π}{3} + πn

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

2

חלק את שני האגפים ב

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

פשט

\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{2 x}{2}

פשט את:

x

\frac{2 x}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= x

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

פשט את:

\frac{2 π}{3} + πn

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} = \frac{2 π}{3}

\frac{\frac{4 π}{3}}{2}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{4 π}{3 \cdot 2}

3 \cdot 2 = 6 :

הכפל את המספרים

= \frac{4 π}{6}

2 :

בטל את הגורמים המשותפים

= \frac{2 π}{3}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= πn

= \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

אחד את הטווחים

x > \frac{π}{3} + πn and x < \frac{2 π}{3} + πn

מזג טווחים חופפים

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

דוגמאות פופולריות

(sin(x))/(4cos^2(x)-1)<0

\frac{sin ( x )}{4 cos ^{2} ( x ) - 1} < 0

(arctan(x))>0

(arctan (x)) > 0

tan(θ)<0,sin(θ)>0

tan (θ) < 0, sin (θ) > 0

(2sin^2(x)-1)/(cos(x))<= 0

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{cos ( x )} \leq 0

8sin^3(t)<0

8 sin^{3} (t) < 0