English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

(2sin^2(x)-1)/(cos(x))<= 0

פתרון

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{cos ( x )} \leq 0

פתרון

- \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x \leq \frac{3 π}{4} + 2 πn or \frac{5 π}{4} + 2 πn \leq x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

סימון מרווחים

[- \frac{π}{4} + 2 πn, \frac{π}{4} + 2 πn] \cup (\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{3 π}{4} + 2 πn] \cup [\frac{5 π}{4} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn)

עשרוני

- 0.78539 \dots + 2 πn \leq x \leq 0.78539 \dots + 2 πn or 1.57079 \dots + 2 πn < x \leq 2.35619 \dots + 2 πn or 3.92699 \dots + 2 πn \leq x < 4.71238 \dots + 2 πn

צעדי פתרון

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{cos ( x )} \leq 0

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:השתמש בזהות הבאה

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

לכן

\frac{2 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) - 1}{cos ( x )} \leq 0

\frac{2 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) - 1}{cos ( x )}

פשט את:

\frac{- 2 cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x )}

\frac{2 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) - 1}{cos ( x )}

2 (1 - cos^{2} (x)) - 1

הרחב את:

- 2 cos^{2} (x) + 1

2 (1 - cos^{2} (x)) - 1

2 (1 - cos^{2} (x))

הרחב את:

2 - 2 cos^{2} (x)

2 (1 - cos^{2} (x))

a (b - c) = ab - a c

: פתח סוגריים בעזרת

a = 2, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 2 \cdot 1 - 2 cos^{2} (x)

2 \cdot 1 = 2 :

הכפל את המספרים

= 2 - 2 cos^{2} (x)

= 2 - 2 cos^{2} (x) - 1

2 - 2 cos^{2} (x) - 1

פשט את:

- 2 cos^{2} (x) + 1

2 - 2 cos^{2} (x) - 1

קבץ ביטויים דומים יחד

= - 2 cos^{2} (x) + 2 - 1

2 - 1 = 1 :

חסר/חבר את המספרים

= - 2 cos^{2} (x) + 1

= - 2 cos^{2} (x) + 1

= \frac{- 2 cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x )}

\frac{- 2 cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x )} \leq 0

u = cos (x) :

נניח ש

\frac{- 2 u ^{2} + 1}{u} \leq 0

\frac{- 2 u ^{2} + 1}{u} \leq 0 : - \frac{2}{2} \leq u < 0 or u \geq \frac{2}{2}

\frac{- 2 u ^{2} + 1}{u} \leq 0

\frac{- 2 u ^{2} + 1}{u}

פרק לגורמים את:

\frac{- ( 2 u + 1 ) ( 2 u - 1 )}{u}

\frac{- 2 u ^{2} + 1}{u}

- 2 u^{2} + 1

פרק לגורמים את:

- (2 u + 1) (2 u - 1)

- 2 u^{2} + 1

- 1

הוצא את הגורם המשותף

= - (2 u^{2} - 1)

2 u^{2} - 1

פרק לגורמים את:

(2 u + 1) (2 u - 1)

2 u^{2} - 1

(2 u)^{2} - 1^{2}

בתור

2 u^{2} - 1

כתוב מחדש את

2 u^{2} - 1

a = (a)^{2}

:הפעל את חוק השורשים

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} u^{2} - 1

1^{2}

בתור

1

כתוב מחדש את

= (2)^{2} u^{2} - 1^{2}

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

:הפעל את חוק החזקות

(2)^{2} u^{2} = (2 u)^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

הפעל את חוק הפרש הריבועים

(2 u)^{2} - 1^{2} = (2 u + 1) (2 u - 1)

= (2 u + 1) (2 u - 1)

= - (2 u + 1) (2 u - 1)

= \frac{- ( 2 u + 1 ) ( 2 u - 1 )}{u}

\frac{- ( 2 u + 1 ) ( 2 u - 1 )}{u} \leq 0

Multiply both sides by

- 1

(reverse the inequality)

\frac{( - ( 2 u + 1 ) ( 2 u - 1 ) ) ( - 1 )}{u} \geq 0 \cdot (- 1)

פשט

\frac{( 2 u + 1 ) ( 2 u - 1 )}{u} \geq 0

זהה את הטווחים השונים

\frac{( 2 u + 1 ) ( 2 u - 1 )}{u}

:חשב את הסימן לכל אחד מהגורמים עבור

2 u + 1

:חשב את הסימן עבור

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 = 0

לצד ימין

1

העבר

2 u + 1 = 0

משני האגפים

1

החסר

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

פשט

2 u = - 1

2 u = - 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u = - 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

פשט

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

\frac{2 u}{2}

פשט את:

u

\frac{2 u}{2}

2 :

בטל את הגורמים המשותפים

= u

\frac{- 1}{2}

פשט את:

- \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= - \frac{1}{2}

- \frac{1}{2}

הפוך לרציונלי:

- \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

\frac{2}{2}

הכפל בצמוד

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

a a = a

:הפעל את חוק השורשים

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{2}{2}

2 u + 1 < 0

לצד ימין

1

העבר

2 u + 1 < 0

משני האגפים

1

החסר

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

פשט

2 u < - 1

2 u < - 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u < - 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

פשט

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

\frac{2 u}{2}

פשט את:

u

\frac{2 u}{2}

2 :

בטל את הגורמים המשותפים

= u

\frac{- 1}{2}

פשט את:

- \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= - \frac{1}{2}

- \frac{1}{2}

הפוך לרציונלי:

- \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

\frac{2}{2}

הכפל בצמוד

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

a a = a

:הפעל את חוק השורשים

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{2}{2}

2 u + 1 > 0

לצד ימין

1

העבר

2 u + 1 > 0

משני האגפים

1

החסר

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

פשט

2 u > - 1

2 u > - 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u > - 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

פשט

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

\frac{2 u}{2}

פשט את:

u

\frac{2 u}{2}

2 :

בטל את הגורמים המשותפים

= u

\frac{- 1}{2}

פשט את:

- \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= - \frac{1}{2}

- \frac{1}{2}

הפוך לרציונלי:

- \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

\frac{2}{2}

הכפל בצמוד

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

a a = a

:הפעל את חוק השורשים

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

2 u - 1

:חשב את הסימן עבור

2 u - 1 = 0 : u = \frac{2}{2}

2 u - 1 = 0

לצד ימין

1

העבר

2 u - 1 = 0

לשני האגפים

1

הוסף

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

פשט

2 u = 1

2 u = 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u = 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

פשט

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

\frac{2 u}{2}

פשט את:

u

\frac{2 u}{2}

2 :

בטל את הגורמים המשותפים

= u

\frac{1}{2}

פשט את:

\frac{2}{2}

\frac{1}{2}

\frac{2}{2}

הכפל בצמוד

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

a a = a

:הפעל את חוק השורשים

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{2}{2}

2 u - 1 < 0

לצד ימין

1

העבר

2 u - 1 < 0

לשני האגפים

1

הוסף

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

פשט

2 u < 1

2 u < 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u < 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

פשט

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

\frac{2 u}{2}

פשט את:

u

\frac{2 u}{2}

2 :

בטל את הגורמים המשותפים

= u

\frac{1}{2}

פשט את:

\frac{2}{2}

\frac{1}{2}

\frac{2}{2}

הכפל בצמוד

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

a a = a

:הפעל את חוק השורשים

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u < \frac{2}{2}

u < \frac{2}{2}

u < \frac{2}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{2}{2}

2 u - 1 > 0

לצד ימין

1

העבר

2 u - 1 > 0

לשני האגפים

1

הוסף

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

פשט

2 u > 1

2 u > 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u > 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

פשט

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

\frac{2 u}{2}

פשט את:

u

\frac{2 u}{2}

2 :

בטל את הגורמים המשותפים

= u

\frac{1}{2}

פשט את:

\frac{2}{2}

\frac{1}{2}

\frac{2}{2}

הכפל בצמוד

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

a a = a

:הפעל את חוק השורשים

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u > \frac{2}{2}

u > \frac{2}{2}

u > \frac{2}{2}

u

:חשב את הסימן עבור

u = 0

u < 0

u > 0

Find singularity points

Find the zeros of the denominator

u : u = 0

סכם בטבלה

2 u + 1 2 u - 1 u \frac{( 2 u + 1 ) ( 2 u - 1 )}{u} u < - \frac{2}{2} - - - - u = - \frac{2}{2} 0 - - 0 - \frac{2}{2} < u < 0 + - - + u = 0 + - 0 לא מוגדר 0 < u < \frac{2}{2} + - + - u = \frac{2}{2} + 0 + 0 u > \frac{2}{2} + + + +

\geq 0 :

בחירת הטווחים המקיימים את התנאי

u = - \frac{2}{2} or - \frac{2}{2} < u < 0 or u = \frac{2}{2} or u > \frac{2}{2}

מזג טווחים חופפים

- \frac{2}{2} \leq u < 0 or u = \frac{2}{2} or u > \frac{2}{2}

האיחוד של שני טווחים הוא סט המספרים אשר נמצאים באחד הטווחים

u = - \frac{2}{2}

או

- \frac{2}{2} < u < 0

- \frac{2}{2} \leq u < 0

האיחוד של שני טווחים הוא סט המספרים אשר נמצאים באחד הטווחים

- \frac{2}{2} \leq u < 0

או

u = \frac{2}{2}

- \frac{2}{2} \leq u < 0 or u = \frac{2}{2}

האיחוד של שני טווחים הוא סט המספרים אשר נמצאים באחד הטווחים

- \frac{2}{2} \leq u < 0 or u = \frac{2}{2}

או

u > \frac{2}{2}

- \frac{2}{2} \leq u < 0 or u \geq \frac{2}{2}

- \frac{2}{2} \leq u < 0 or u \geq \frac{2}{2}

- \frac{2}{2} \leq u < 0 or u \geq \frac{2}{2}

- \frac{2}{2} \leq u < 0 or u \geq \frac{2}{2}

u = cos (x)

החלף בחזרה

- \frac{2}{2} \leq cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{2}{2}

- \frac{2}{2} \leq cos (x) < 0 : \frac{π}{2} + 2 πn < x \leq \frac{3 π}{4} + 2 πn or \frac{5 π}{4} + 2 πn \leq x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

- \frac{2}{2} \leq cos (x) < 0

a \leq u and u < b

אז

a \leq u < b

אם

- \frac{2}{2} \leq cos (x) and cos (x) < 0

- \frac{2}{2} \leq cos (x) : - \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{3 π}{4} + 2 πn

- \frac{2}{2} \leq cos (x)

הפוך את האגפים

cos (x) \geq - \frac{2}{2}

For

cos (x) \geq a

, if

- 1 < a < 1

then

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn \leq x \leq arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn

- arccos (- \frac{2}{2})

פשט את:

- \frac{3 π}{4}

- arccos (- \frac{2}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arccos (- \frac{2}{2}) = \frac{3 π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{3 π}{4}

arccos (- \frac{2}{2})

פשט את:

\frac{3 π}{4}

arccos (- \frac{2}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arccos (- \frac{2}{2}) = \frac{3 π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{3 π}{4}

- \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{3 π}{4} + 2 πn

cos (x) < 0 : \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) < 0

For

cos (x) < a

, if

- 1 < a \leq 1

then

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn < x < 2 π - arccos (0) + 2 πn

arccos (0)

פשט את:

\frac{π}{2}

arccos (0)

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

2 π - arccos (0)

פשט את:

\frac{3 π}{2}

2 π - arccos (0)

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{2}

פשט

2 π - \frac{π}{2}

2 π = \frac{2 π 2}{2}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{2 π 2}{2} - \frac{π}{2}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{2 π 2 - π}{2}

2 π 2 - π = 3 π

2 π 2 - π

2 \cdot 2 = 4 :

הכפל את המספרים

= 4 π - π

4 π - π = 3 π :

חבר איברים דומים

= 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

אחד את הטווחים

- \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{3 π}{4} + 2 πn and \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

מזג טווחים חופפים

\frac{π}{2} + 2 πn < x \leq \frac{3 π}{4} + 2 πn or \frac{5 π}{4} + 2 πn \leq x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) \geq \frac{2}{2} : - \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn

cos (x) \geq \frac{2}{2}

For

cos (x) \geq a

, if

- 1 < a < 1

then

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn

- arccos (\frac{2}{2})

פשט את:

- \frac{π}{4}

- arccos (\frac{2}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arccos (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{4}

arccos (\frac{2}{2})

פשט את:

\frac{π}{4}

arccos (\frac{2}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arccos (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

- \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn

אחד את הטווחים

(\frac{π}{2} + 2 πn < x \leq \frac{3 π}{4} + 2 πn or \frac{5 π}{4} + 2 πn \leq x < \frac{3 π}{2} + 2 πn) or - \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn

מזג טווחים חופפים

- \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x \leq \frac{3 π}{4} + 2 πn or \frac{5 π}{4} + 2 πn \leq x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

דוגמאות פופולריות

8sin^3(t)<0

8 sin^{3} (t) < 0

pi/2-arctan(e^x)>0.1

\frac{π}{2} - arctan (e^{x}) > 0.1

arctan(x/y)>0

arctan (\frac{x}{y}) > 0

cos^2(x)-sin^2(x)>0

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) > 0

cos^2(x)>sin^2(x)

cos^{2} (x) > sin^{2} (x)