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Popular Trigonometria >

csc(x)<=-2

Solução

csc (x) \leq - 2

Solução

π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn

Notação de intervalo

(π + 2 πn, \frac{7 π}{6} + 2 πn] \cup [\frac{11 π}{6} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Decimal

3.14159 \dots + 2 πn < x \leq 3.66519 \dots + 2 πn or 5.75958 \dots + 2 πn \leq x < 6.28318 \dots + 2 πn

Passos da solução

csc (x) \leq - 2

Expresar com seno, cosseno

csc (x) \leq - 2

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} \leq - 2

\frac{1}{sin ( x )} \leq - 2

Reescrever na forma geral

\frac{1}{sin ( x )} \leq - 2

Adicionar

2

a ambos os lados

\frac{1}{sin ( x )} + 2 \leq - 2 + 2

Simplificar

\frac{1}{sin ( x )} + 2 \leq 0

Simplificar

\frac{1}{sin ( x )} + 2 : \frac{1 + 2 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} + 2

Converter para fração:

2 = \frac{2 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} + \frac{2 sin ( x )}{sin ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + 2 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{1 + 2 sin ( x )}{sin ( x )} \leq 0

\frac{1 + 2 sin ( x )}{sin ( x )} \leq 0

Identifique os intervalos

Encontre os sinais dos fatores de

\frac{1 + 2 sin ( x )}{sin ( x )}

Encontre os sinais de

1 + 2 sin (x)

1 + 2 sin (x) = 0 : sin (x) = - \frac{1}{2}

1 + 2 sin (x) = 0

Mova

1

para o lado direito

1 + 2 sin (x) = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 + 2 sin (x) - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 sin (x) = - 1

2 sin (x) = - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 sin (x) = - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = - \frac{1}{2}

1 + 2 sin (x) < 0 : sin (x) < - \frac{1}{2}

1 + 2 sin (x) < 0

Mova

1

para o lado direito

1 + 2 sin (x) < 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 + 2 sin (x) - 1 < 0 - 1

Simplificar

2 sin (x) < - 1

2 sin (x) < - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 sin (x) < - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 sin ( x )}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplificar

sin (x) < - \frac{1}{2}

sin (x) < - \frac{1}{2}

1 + 2 sin (x) > 0 : sin (x) > - \frac{1}{2}

1 + 2 sin (x) > 0

Mova

1

para o lado direito

1 + 2 sin (x) > 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 + 2 sin (x) - 1 > 0 - 1

Simplificar

2 sin (x) > - 1

2 sin (x) > - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 sin (x) > - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 sin ( x )}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplificar

sin (x) > - \frac{1}{2}

sin (x) > - \frac{1}{2}

Encontre os sinais de

sin (x)

sin (x) = 0

sin (x) < 0

sin (x) > 0

Encontre pontos de singularidade

Encontre os zeros do denominador

sin (x) : sin (x) = 0

Resumir em uma tabela:

1 + 2 sin (x) sin (x) \frac{1 + 2 s i n ( x )}{s i n ( x )} sin (x) < - \frac{1}{2} - - + sin (x) = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < sin (x) < 0 + - - sin (x) = 0 + 0 Indefinido sin (x) > 0 + + +

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

\leq 0

sin (x) = - \frac{1}{2} or - \frac{1}{2} < sin (x) < 0

Junte intervalos que se sobrepoem

sin (x) = - \frac{1}{2} or - \frac{1}{2} < sin (x) < 0

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

sin (x) = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} < sin (x) < 0

- \frac{1}{2} \leq sin (x) < 0

- \frac{1}{2} \leq sin (x) < 0

- \frac{1}{2} \leq sin (x) < 0

a \leq u < b

então

a \leq u and u < b

- \frac{1}{2} \leq sin (x) and sin (x) < 0

- \frac{1}{2} \leq sin (x) : - \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn

- \frac{1}{2} \leq sin (x)

Trocar lados

sin (x) \geq - \frac{1}{2}

Para

sin (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

então

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Utilizar a seguinte propriedade:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

Simplificar

π - arcsin (- \frac{1}{2}) : \frac{7 π}{6}

π - arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Utilizar a seguinte propriedade:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= π - (- \frac{π}{6})

Simplificar

π - (- \frac{π}{6})

Aplicar a regra

- (- a) = a

= π + \frac{π}{6}

Converter para fração:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} + \frac{π}{6}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 + π}{6}

Somar elementos similares:

6 π + π = 7 π

= \frac{7 π}{6}

= \frac{7 π}{6}

- \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

Para

sin (x) < a

, se

- 1 < a \leq 1

então

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Simplificar

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

Simplificar

- π + 2 πn < x < 2 πn

Combinar os intervalos

- \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn and - π + 2 πn < x < 2 πn

Junte intervalos que se sobrepoem

π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn

Exemplos populares

sin(x)>(sin(x))/(cos(x)-2)

sin (x) > \frac{sin ( x )}{cos ( x ) - 2}

cot(x)<= sqrt(3)

cot (x) \leq 3

2cos(x)>= 1

2 cos (x) \geq 1

1/3 cos(3x-pi/3)< 1/6

\frac{1}{3} cos (3 x - \frac{π}{3}) < \frac{1}{6}

-cos(3x)<0

- cos (3 x) < 0