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Beliebt Trigonometrie >

sin(x)+cos^2(x)<= 1

Lösung

sin (x) + cos^{2} (x) \leq 1

Lösung

x = \frac{π}{2} + 2 πn or - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

Intervall-Notation

x = \frac{π}{2} + 2 πn \cup [- π + 2 πn, 2 πn]

Dezimale

x = 1.57079 \dots + 2 πn or - 3.14159 \dots + 2 πn \leq x \leq 2 πn

Schritte zur Lösung

sin (x) + cos^{2} (x) \leq 1

Verwende die folgenden Identitäten:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Deshalb

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

sin (x) + 1 - sin^{2} (x) \leq 1

Angenommen:

u = sin (x)

u + 1 - u^{2} \leq 1

u + 1 - u^{2} \leq 1 : u \leq 0 or u \geq 1

u + 1 - u^{2} \leq 1

Rewrite in standard form

u + 1 - u^{2} \leq 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - u^{2} - 1 \leq 1 - 1

Vereinfache

- u^{2} + u \leq 0

- u^{2} + u \leq 0

Faktorisiere

- u^{2} + u : - u (u - 1)

- u^{2} + u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - uu + u

Klammere gleiche Terme aus

- u

= - u (u - 1)

- u (u - 1) \leq 0

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

(drehe die Ungleichung um)

(- u (u - 1)) (- 1) \geq 0 \cdot (- 1)

Vereinfache

u (u - 1) \geq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

u (u - 1)

Finde die Vorzeichen von

u

u = 0

u < 0

u > 0

Finde die Vorzeichen von

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

u > 1

u > 1

Fasse in einer Tabelle zusammen:

u u - 1 u (u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\geq 0

u < 0 or u = 0 or u = 1 or u > 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

u \leq 0 or u = 1 or u > 1

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u < 0

oder

u = 0

u \leq 0

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u \leq 0

oder

u = 1

u \leq 0 or u = 1

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u \leq 0 or u = 1

oder

u > 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) \leq 0 or sin (x) \geq 1

sin (x) \leq 0 : - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin (x) \leq 0

Für

sin (x) \leq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn \leq x \leq arcsin (0) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Vereinfache

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn \leq x \leq 0 + 2 πn

Vereinfache

- π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin (x) \geq 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) \geq 1

Für

sin (x) \geq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (1) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (1) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (1) : \frac{π}{2}

arcsin (1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

Vereinfache

π - arcsin (1) : \frac{π}{2}

π - arcsin (1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{2}

Vereinfache

π - \frac{π}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 2}{2}

= \frac{π 2}{2} - \frac{π}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 - π}{2}

Addiere gleiche Elemente:

2 π - π = π

= \frac{π}{2}

= \frac{π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

Vereinfache

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

- π + 2 πn \leq x \leq 2 πn or x = \frac{π}{2} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

x = \frac{π}{2} + 2 πn or - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

Beliebte Beispiele

sin(3x-pi/6)+cos(3x-pi/6)>0

sin (3 x - \frac{π}{6}) + cos (3 x - \frac{π}{6}) > 0

sin^2(x)<= 1

sin^{2} (x) \leq 1

cot(x)+(sin(x))/(cos(x)-2)>= 0

cot (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x ) - 2} \geq 0

(2sin(2x)+sqrt(2))*tan(x)<0

(2 sin (2 x) + 2) \cdot tan (x) < 0

cos(x)<=-(sqrt(2))/2 ,-pi<= x<= pi

cos (x) \leq - \frac{2}{2}, - π \leq x \leq π