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Populaire Trigonométrie >

prouver (tan(θ)sin(θ))/(sec(θ)-1)=1+cos(θ)

Solution

prouver

\frac{tan ( θ ) sin ( θ )}{sec ( θ ) - 1} = 1 + cos (θ)

Solution

vrai

étapes des solutions

\frac{tan ( θ ) sin ( θ )}{sec ( θ ) - 1} = 1 + cos (θ)

En manipulant le côté gauche

\frac{tan ( θ ) sin ( θ )}{sec ( θ ) - 1}

Exprimer avec sinus, cosinus

\frac{sin ( θ ) tan ( θ )}{- 1 + sec ( θ )}

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( θ ) \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{- 1 + sec ( θ )}

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{sin ( θ ) \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ( θ )}}

Simplifier

\frac{sin ( θ ) \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ( θ )}} : \frac{sin ^{2} ( θ )}{- cos ( θ ) + 1}

\frac{sin ( θ ) \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ( θ )}}

Relier

- 1 + \frac{1}{cos ( θ )} : \frac{- cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

- 1 + \frac{1}{cos ( θ )}

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 cos ( θ )}{cos ( θ )}

= - \frac{1 \cdot cos ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{1}{cos ( θ )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

Multiplier:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= \frac{- cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

= \frac{\frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} sin ( θ )}{\frac{- c o s ( θ ) + 1}{c o s ( θ )}}

Multiplier

sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ )}

sin (θ) sin (θ) = sin^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{\frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ( θ )}}{\frac{- c o s ( θ ) + 1}{c o s ( θ )}}

Diviser des fractions:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ ) ( - cos ( θ ) + 1 )}

Annuler le facteur commun :

cos (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{- cos ( θ ) + 1}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{- cos ( θ ) + 1}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

\frac{sin ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )}

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )}

Simplifier

\frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )} : cos (θ) + 1

\frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )}

Factoriser

1 - cos^{2} (θ) : - (cos (θ) + 1) (cos (θ) - 1)

1 - cos^{2} (θ)

Factoriser le terme commun

- 1

= - (cos^{2} (θ) - 1)

Factoriser

cos^{2} (θ) - 1 : (cos (θ) + 1) (cos (θ) - 1)

cos^{2} (θ) - 1

Récrire

1

comme

1^{2}

= cos^{2} (θ) - 1^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (θ) - 1^{2} = (cos (θ) + 1) (cos (θ) - 1)

= (cos (θ) + 1) (cos (θ) - 1)

= - (cos (θ) + 1) (cos (θ) - 1)

= - \frac{( cos ( θ ) + 1 ) ( cos ( θ ) - 1 )}{1 - cos ( θ )}

Annuler

- \frac{( cos ( θ ) + 1 ) ( cos ( θ ) - 1 )}{1 - cos ( θ )} : cos (θ) + 1

- \frac{( cos ( θ ) + 1 ) ( cos ( θ ) - 1 )}{1 - cos ( θ )}

- cos (θ) + 1 = - (cos (θ) - 1)

= - \frac{( cos ( θ ) + 1 ) ( cos ( θ ) - 1 )}{- ( cos ( θ ) - 1 )}

Redéfinir

= \frac{( cos ( θ ) + 1 ) ( cos ( θ ) - 1 )}{cos ( θ ) - 1}

Annuler le facteur commun :

cos (θ) - 1

= cos (θ) + 1

= cos (θ) + 1

= cos (θ) + 1

= cos (θ) + 1

= 1 + cos (θ)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

Exemples populaires

prouver 1-2sin^2(x)=-1+cos^2(x)

p ro v e 1 - 2 sin^{2} (x) = - 1 + cos^{2} (x)

prouver (sin(x)sin(x))/(cos(x))=cos(x)

p ro v e \frac{sin ( x ) sin ( x )}{cos ( x )} = cos (x)

prouver (cos(x))/5 = 1/5*cos(x)

p ro v e \frac{cos ( x )}{5} = \frac{1}{5} \cdot cos (x)

prouver (1+tan(x))/(sec(x))=cos(x)+sin(x)

p ro v e \frac{1 + tan ( x )}{sec ( x )} = cos (x) + sin (x)

prouver (sin(4x))/4 =(sin(x)cos(x))/2

p ro v e \frac{sin ( 4 x )}{4} = \frac{sin ( x ) cos ( x )}{2}