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beweisen sin^2(x)sec^2(x)=sec^2(x)-1

Lösung

beweisen

sin^{2} (x) sec^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

Wahr

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) sec^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

Manipuliere die rechte Seite

sec^{2} (x) - 1

Drücke mit sin, cos aus

- 1 + sec^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Vereinfache

- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2} : \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= - 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{sin ^{2} ( x )}{( \frac{1}{s e c ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{sin ^{2} ( x )}{( \frac{1}{s e c ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{\frac{1}{s e c ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{sin ^{2} ( x ) sec ^{2} ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sin^{2} (x) sec^{2} (x)

sin^{2} (x) sec^{2} (x)

sin^{2} (x) sec^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e (6 cos^{2} (x) - 6 sin^{2} (x)) = 6 - 12 sin^{2} (x)

p ro v e 1 + \frac{1}{tan ^{2} ( x )} = csc^{2} (x)

p ro v e sec (x \cdot 0) = 1

p ro v e \frac{1 + csc ( a )}{cot ( a ) + cos ( a )} = sec (a)

p ro v e sec (θ) - sec (θ) sin^{2} (θ) = cos (θ)