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beweisen (cos(2x))/(1-sin^2(x))=2-sec^2(x)

Lösung

beweisen

\frac{cos ( 2 x )}{1 - sin ^{2} ( x )} = 2 - sec^{2} (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cos ( 2 x )}{1 - sin ^{2} ( x )} = 2 - sec^{2} (x)

Manipuliere die rechte Seite

2 - sec^{2} (x)

Drücke mit sin, cos aus

2 - sec^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= 2 - (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Vereinfache

2 - (\frac{1}{cos ( x )})^{2} : \frac{2 cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

2 - (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= 2 - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 = \frac{2 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{- 1 + 2 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{- 1 + 2 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 cos^{2} (x) - 1 = cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 x )}{cos ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{cos ( 2 x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ( 2 x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cot (- θ) \cdot cos (- θ) + sin (- θ) = - csc (θ)

p ro v e sec (θ) cot (θ) - sin (θ) = cos (θ) cot (θ)

p ro v e 9 sin (9 π - x) = 9 sin (x)

p ro v e tan^{4} (θ) - sec^{4} (θ) = 1 - 2 sec^{2} (θ)

p ro v e sec (x) - tan (x) = cos (x)