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beweisen sec(θ)cot(θ)-sin(θ)=cos(θ)cot(θ)

Lösung

beweisen

sec (θ) cot (θ) - sin (θ) = cos (θ) cot (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

sec (θ) cot (θ) - sin (θ) = cos (θ) cot (θ)

Manipuliere die linke Seite

sec (θ) cot (θ) - sin (θ)

Drücke mit sin, cos aus

- sin (θ) + cot (θ) sec (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= - sin (θ) + \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} sec (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - sin (θ) + \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )}

Vereinfache

- sin (θ) + \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} : \frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{sin ( θ )}

- sin (θ) + \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} = \frac{1}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{cos ( θ ) \cdot 1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (θ)

= \frac{1}{sin ( θ )}

= - sin (θ) + \frac{1}{sin ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (θ) = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

= - \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ( θ ) sin ( θ ) + 1}{sin ( θ )}

- sin (θ) sin (θ) + 1 = - sin^{2} (θ) + 1

- sin (θ) sin (θ) + 1

sin (θ) sin (θ) = sin^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= - sin^{2} (θ) + 1

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{sin ( θ )}

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{sin ( θ )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= cos (θ) \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

cos (θ) cot (θ)

cos (θ) cot (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 9 sin (9 π - x) = 9 sin (x)

p ro v e tan^{4} (θ) - sec^{4} (θ) = 1 - 2 sec^{2} (θ)

p ro v e sec (x) - tan (x) = cos (x)

p ro v e tan (2 x) - tan (x) = \frac{tan ( x )}{cos ( 2 x )}

p ro v e \frac{cos ^{2} ( t )}{cot ( t )} = cos (t) sin (t)