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Beliebt Trigonometrie >

beweisen 1/(sec(x)(sec(x)-cos(x)))=cot^2(x)

Lösung

beweisen

\frac{1}{sec ( x ) ( sec ( x ) - cos ( x ) )} = cot^{2} (x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1}{sec ( x ) ( sec ( x ) - cos ( x ) )} = cot^{2} (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1}{sec ( x ) ( sec ( x ) - cos ( x ) )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1}{( - cos ( x ) + sec ( x ) ) sec ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{( - cos ( x ) + \frac{1}{c o s ( x )} ) \frac{1}{c o s ( x )}}

Vereinfache

\frac{1}{( - cos ( x ) + \frac{1}{c o s ( x )} ) \frac{1}{c o s ( x )}} : \frac{cos ^{2} ( x )}{- cos ^{2} ( x ) + 1}

\frac{1}{( - cos ( x ) + \frac{1}{c o s ( x )} ) \frac{1}{c o s ( x )}}

Multipliziere

(- cos (x) + \frac{1}{cos ( x )}) \frac{1}{cos ( x )} : \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

(- cos (x) + \frac{1}{cos ( x )}) \frac{1}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( - cos ( x ) + \frac{1}{c o s ( x )} )}{cos ( x )}

1 \cdot (- cos (x) + \frac{1}{cos ( x )}) = - cos (x) + \frac{1}{cos ( x )}

1 \cdot (- cos (x) + \frac{1}{cos ( x )})

Multipliziere:

1 \cdot (- cos (x) + \frac{1}{cos ( x )}) = (- cos (x) + \frac{1}{cos ( x )})

= (- cos (x) + \frac{1}{cos ( x )})

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= - cos (x) + \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{- cos ( x ) + \frac{1}{c o s ( x )}}{cos ( x )}

Füge

- cos (x) + \frac{1}{cos ( x )}

zusammen:

\frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x )}

- cos (x) + \frac{1}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos (x) = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( x ) cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

- cos (x) cos (x) + 1 = - cos^{2} (x) + 1

- cos (x) cos (x) + 1

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= - cos^{2} (x) + 1

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{\frac{- c o s ^{2} ( x ) + 1}{c o s ( x )}}{cos ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x ) cos ( x )}

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{- c o s ^{2} ( x ) + 1}{c o s ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{- cos ^{2} ( x ) + 1}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{- cos ^{2} ( x ) + 1}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{1 - cos ^{2} ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

cot^{2} (x)

Drücke mit sin, cos aus

cot^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Vereinfache

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{1 - cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{1 - cos ^{2} ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen sec(30)-sin(30)tan(30)=cos(30)

p ro v e sec (3 0^{\circ}) - sin (3 0^{\circ}) tan (3 0^{\circ}) = cos (3 0^{\circ})

beweisen tan(x)*csc^2(x)-tan(x)=cot(x)

p ro v e tan (x) \cdot csc^{2} (x) - tan (x) = cot (x)

beweisen 2sin^2(2x)+cos(4x)=1

p ro v e 2 sin^{2} (2 x) + cos (4 x) = 1

beweisen cos(α-β)-cos(α+β)=2sin(α)sin(β)

p ro v e cos (α - β) - cos (α + β) = 2 sin (α) sin (β)

beweisen 1=sec^2(θ)-tan^2(θ)

p ro v e 1 = sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ)