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provar (1+cos(t))/(1-cos(t))=(csc(t)+cot(t))^2

Solução

provar

\frac{1 + cos ( t )}{1 - cos ( t )} = (csc (t) + cot (t))^{2}

Verdadeiro

Passos da solução

\frac{1 + cos ( t )}{1 - cos ( t )} = (csc (t) + cot (t))^{2}

Manipular o lado esquerdo

(csc (t) + cot (t))^{2}

Expresar com seno, cosseno

(cot (t) + csc (t))^{2}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + csc (t))^{2}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{1}{sin ( t )})^{2}

Simplificar

(\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{1}{sin ( t )})^{2} : \frac{( cos ( t ) + 1 ) ^{2}}{sin ^{2} ( t )}

(\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{1}{sin ( t )})^{2}

Combinar as frações usando o mínimo múltiplo comum:

\frac{cos ( t ) + 1}{sin ( t )}

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( t ) + 1}{sin ( t )}

= (\frac{cos ( t ) + 1}{sin ( t )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( cos ( t ) + 1 ) ^{2}}{sin ^{2} ( t )}

= \frac{( cos ( t ) + 1 ) ^{2}}{sin ^{2} ( t )}

= \frac{( 1 + cos ( t ) ) ^{2}}{sin ^{2} ( t )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{( 1 + cos ( t ) ) ^{2}}{sin ^{2} ( t )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (t) + sin^{2} (t) = 1

sin^{2} (t) = 1 - cos^{2} (t)

= \frac{( 1 + cos ( t ) ) ^{2}}{1 - cos ^{2} ( t )}

Fatorar

1 - cos^{2} (t) : (1 + cos (t)) (1 - cos (t))

1 - cos^{2} (t)

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

t^{2} - y^{2} = (t + y) (t - y)

1 - cos^{2} (t) = (1 + cos (t)) (1 - cos (t))

= (1 + cos (t)) (1 - cos (t))

= \frac{( 1 + cos ( t ) ) ^{2}}{( 1 + cos ( t ) ) ( 1 - cos ( t ) )}

Eliminar o fator comum:

cos (t) + 1

= \frac{1 + cos ( t )}{1 - cos ( t )}

= \frac{1 + cos ( t )}{1 - cos ( t )}

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e sec^{2} (α) + csc^{2} (α) = \frac{1}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )}

p ro v e sin^{2} (A) + cos^{2} (A) = 1

p ro v e csc (2 x) + cot (2 x) = cot (x)

p ro v e cos^{2} (t) = \frac{1 + cos ( 2 t )}{2}

p ro v e cos (x) csc (x) tan (x) = 1