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provar csc(2x)+cot(2x)=cot(x)

Solução

provar

csc (2 x) + cot (2 x) = cot (x)

Verdadeiro

Passos da solução

csc (2 x) + cot (2 x) = cot (x)

Manipular o lado direito

csc (2 x) + cot (2 x)

Expresar com seno, cosseno

cot (2 x) + csc (2 x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )} + csc (2 x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )} + \frac{1}{sin ( 2 x )}

Simplificar

\frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )} + \frac{1}{sin ( 2 x )} : \frac{cos ( 2 x ) + 1}{sin ( 2 x )}

\frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )} + \frac{1}{sin ( 2 x )}

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( 2 x ) + 1}{sin ( 2 x )}

= \frac{cos ( 2 x ) + 1}{sin ( 2 x )}

= \frac{1 + cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{1 + cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{1 + cos ( 2 x )}{2 sin ( x ) cos ( x )}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{1 + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}{2 sin ( x ) cos ( x )}

Simplificar

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}{2 sin ( x ) cos ( x )} : \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}{2 sin ( x ) cos ( x )}

1 + 2 cos^{2} (x) - 1 = 2 cos^{2} (x)

1 + 2 cos^{2} (x) - 1

Agrupar termos semelhantes

= 2 cos^{2} (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (x)

= \frac{2 cos ^{2} ( x )}{2 sin ( x ) cos ( x )}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Eliminar o fator comum:

cos (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e cos^{2} (t) = \frac{1 + cos ( 2 t )}{2}

p ro v e cos (x) csc (x) tan (x) = 1

p ro v e \frac{csc ^{2} ( θ )}{1 + tan ^{2} ( θ )} = cot^{2} (θ)

p ro v e \frac{tan ( y )}{csc ( y )} = sec (y) - cos (y)

p ro v e cos (3 x) = cos (2 x + x)