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Popular Trigonometria >

provar 2tan(x)sec(x)= 1/(1-sin(x))-1/(1+sin(x))

Solução

provar

2 tan (x) sec (x) = \frac{1}{1 - sin ( x )} - \frac{1}{1 + sin ( x )}

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

2 tan (x) sec (x) = \frac{1}{1 - sin ( x )} - \frac{1}{1 + sin ( x )}

Manipular o lado direito

2 tan (x) sec (x)

Expresar com seno, cosseno

2 sec (x) tan (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= 2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} tan (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Simplificar

2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x ) cos ( x )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 sin ( x )}{cos ( x ) cos ( x )}

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Somar:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Manipular o lado esquerdo

\frac{1}{1 - sin ( x )} - \frac{1}{1 + sin ( x )}

Simplificar

- \frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )} : \frac{2 sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

- \frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )}

Mínimo múltiplo comum de

1 + sin (x), 1 - sin (x) : (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

1 + sin (x), 1 - sin (x)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

1 + sin (x)

quanto em

1 - sin (x)

= (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{1}{1 + sin ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

- sin (x) + 1

\frac{1}{1 + sin ( x )} = \frac{1 \cdot ( - sin ( x ) + 1 )}{( 1 + sin ( x ) ) ( - sin ( x ) + 1 )} = \frac{- sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Para

\frac{1}{1 - sin ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

sin (x) + 1

\frac{1}{1 - sin ( x )} = \frac{1 \cdot ( sin ( x ) + 1 )}{( 1 - sin ( x ) ) ( sin ( x ) + 1 )} = \frac{sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= - \frac{- sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )} + \frac{sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- ( - sin ( x ) + 1 ) + sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Expandir

- (- sin (x) + 1) + sin (x) + 1 : 2 sin (x)

- (- sin (x) + 1) + sin (x) + 1

- (- sin (x) + 1) : sin (x) - 1

- (- sin (x) + 1)

Colocar os parênteses

= - (- sin (x)) - (1)

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= sin (x) - 1

= sin (x) - 1 + sin (x) + 1

Simplificar

sin (x) - 1 + sin (x) + 1 : 2 sin (x)

sin (x) - 1 + sin (x) + 1

Agrupar termos semelhantes

= sin (x) + sin (x) - 1 + 1

Somar elementos similares:

sin (x) + sin (x) = 2 sin (x)

= 2 sin (x) - 1 + 1

- 1 + 1 = 0

= 2 sin (x)

= 2 sin (x)

= \frac{2 sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{2 sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{2 sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Expandir

(1 + sin (x)) (1 - sin (x)) : 1 - sin^{2} (x)

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - sin^{2} (x)

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar 1/(sin(x)cot(x))= 1/(cos(x))

p ro v e \frac{1}{sin ( x ) cot ( x )} = \frac{1}{cos ( x )}

provar (csc^2(x)-1)/(csc^2(x))=cos^2(x)

p ro v e \frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{csc ^{2} ( x )} = cos^{2} (x)

provar cos(3α)=4cos^3(α)-3cos(α)

p ro v e cos (3 α) = 4 cos^{3} (α) - 3 cos (α)

provar (tan(x)-sin(-x))/(1+cos(x))=tan(x)

p ro v e \frac{tan ( x ) - sin ( - x )}{1 + cos ( x )} = tan (x)

provar tan(2a)=(2tan(a))/(1-tan^2(a))

p ro v e tan (2 a) = \frac{2 tan ( a )}{1 - tan ^{2} ( a )}