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Beliebt Trigonometrie >

cosh(x)=7

Lösung

cosh (x) = 7

Lösung

x = ln (7 + 43), x = ln (7 - 43)

Grad

x = 150.91225 \dots^{\circ}, x = - 150.91225 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

cosh (x) = 7

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cosh (x) = 7

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 7

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 7

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 7 : x = ln (7 + 43), x = ln (7 - 43)

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 7

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot 2 = 7 \cdot 2

Vereinfache

e^{x} + e^{- x} = 14

Wende Exponentenregel an

e^{x} + e^{- x} = 14

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

e^{x} + (e^{x})^{- 1} = 14

e^{x} + (e^{x})^{- 1} = 14

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

u + (u)^{- 1} = 14

Löse

u + u^{- 1} = 14 : u = 7 + 43, u = 7 - 43

u + u^{- 1} = 14

Fasse zusammen

u + \frac{1}{u} = 14

Multipliziere beide Seiten mit

u

u + \frac{1}{u} = 14

Multipliziere beide Seiten mit

u

uu + \frac{1}{u} u = 14 u

Vereinfache

uu + \frac{1}{u} u = 14 u

Vereinfache

uu : u^{2}

uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Vereinfache

\frac{1}{u} u : 1

\frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 1

u^{2} + 1 = 14 u

u^{2} + 1 = 14 u

u^{2} + 1 = 14 u

Löse

u^{2} + 1 = 14 u : u = 7 + 43, u = 7 - 43

u^{2} + 1 = 14 u

Verschiebe

14 u

auf die linke Seite

u^{2} + 1 = 14 u

Subtrahiere

14 u

von beiden Seiten

u^{2} + 1 - 14 u = 14 u - 14 u

Vereinfache

u^{2} + 1 - 14 u = 0

u^{2} + 1 - 14 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 14 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 14 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 14, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 14 ) \pm ( - 14 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 14 ) \pm ( - 14 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 14)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 83

(- 14)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 14)^{2} = 1 4^{2}

= 1 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 4^{2} - 4

1 4^{2} = 196

= 196 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

196 - 4 = 192

= 192

Primfaktorzerlegung von

192 : 2^{6} \cdot 3

192

192

ist durch

2192 = 96 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 96

96

ist durch

296 = 48 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 48

48

ist durch

248 = 24 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 24

24

ist durch

224 = 12 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{6} \cdot 3

= 2^{6} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 3 2^{6}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 3

Fasse zusammen

= 83

u_{1, 2} = \frac{- ( - 14 ) \pm 8 3}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 14 ) + 8 3}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 14 ) - 8 3}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 14 ) + 8 3}{2 \cdot 1} : 7 + 43

\frac{- ( - 14 ) + 8 3}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{14 + 8 3}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{14 + 8 3}{2}

Faktorisiere

14 + 83 : 2 (7 + 43)

14 + 83

Schreibe um

= 2 \cdot 7 + 2 \cdot 43

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (7 + 43)

= \frac{2 ( 7 + 4 3 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 7 + 43

u = \frac{- ( - 14 ) - 8 3}{2 \cdot 1} : 7 - 43

\frac{- ( - 14 ) - 8 3}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{14 - 8 3}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{14 - 8 3}{2}

Faktorisiere

14 - 83 : 2 (7 - 43)

14 - 83

Schreibe um

= 2 \cdot 7 - 2 \cdot 43

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (7 - 43)

= \frac{2 ( 7 - 4 3 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 7 - 43

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 7 + 43, u = 7 - 43

u = 7 + 43, u = 7 - 43

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

u + u^{- 1}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 7 + 43, u = 7 - 43

u = 7 + 43, u = 7 - 43

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = 7 + 43 : x = ln (7 + 43)

e^{x} = 7 + 43

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 7 + 43

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (7 + 43)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (7 + 43)

x = ln (7 + 43)

Löse

e^{x} = 7 - 43 : x = ln (7 - 43)

e^{x} = 7 - 43

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 7 - 43

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (7 - 43)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (7 - 43)

x = ln (7 - 43)

x = ln (7 + 43), x = ln (7 - 43)

x = ln (7 + 43), x = ln (7 - 43)

Graph

Beliebte Beispiele

4cos(x)-5=0

4 cos (x) - 5 = 0

tan^2(x)+4tan(x)-5=0

tan^{2} (x) + 4 tan (x) - 5 = 0

3sin^2(x)-6sin(x)=0

3 sin^{2} (x) - 6 sin (x) = 0

sin^2(θ)=8sin(θ)+9

sin^{2} (θ) = 8 sin (θ) + 9

10sin(3x)=5

10 sin (3 x) = 5