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Beliebt Trigonometrie >

cos(x)-sqrt(3)sin(x)=sqrt(2)

Lösung

cos (x) - 3 sin (x) = 2

Lösung

x = π + 1.30899 \dots + 2 πn, x = - 0.26179 \dots + 2 πn

Grad

x = 25 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 1 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (x) - 3 sin (x) = 2

Füge

3 sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

cos (x) = 2 + 3 sin (x)

Quadriere beide Seiten

cos^{2} (x) = (2 + 3 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(2 + 3 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

cos^{2} (x) - 2 - 26 sin (x) - 3 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 2 + cos^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) - 2 sin (x) 6

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 2 + 1 - sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) - 2 sin (x) 6

Vereinfache

- 2 + 1 - sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) - 2 sin (x) 6 : - 4 sin^{2} (x) - 26 sin (x) - 1

- 2 + 1 - sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) - 2 sin (x) 6

Addiere gleiche Elemente:

- sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) = - 4 sin^{2} (x)

= - 2 + 1 - 4 sin^{2} (x) - 26 sin (x)

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 2 + 1 = - 1

= - 4 sin^{2} (x) - 26 sin (x) - 1

= - 4 sin^{2} (x) - 26 sin (x) - 1

- 1 - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) 6 = 0

Löse mit Substitution

- 1 - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) 6 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 1 - 4 u^{2} - 2 u 6 = 0

- 1 - 4 u^{2} - 2 u 6 = 0 : u = - \frac{6 + 2}{4}, u = - \frac{6 - 2}{4}

- 1 - 4 u^{2} - 2 u 6 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 26 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} - 26 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = - 26, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 6 ) \pm ( - 2 6 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 6 ) \pm ( - 2 6 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

(- 26)^{2} - 4 (- 4) (- 1) = 22

(- 26)^{2} - 4 (- 4) (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 26)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

(- 26)^{2} = 2^{2} \cdot 6

(- 26)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 26)^{2} = (26)^{2}

= (26)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (6)^{2}

(6)^{2} : 6

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (6^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 6

= 2^{2} \cdot 6

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

4 \cdot 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 16

= 2^{2} \cdot 6 - 16

2^{2} \cdot 6 = 24

2^{2} \cdot 6

2^{2} = 4

= 4 \cdot 6

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 = 24

= 24

= 24 - 16

Subtrahiere die Zahlen:

24 - 16 = 8

= 8

Primfaktorzerlegung von

8 : 2^{3}

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 6 ) \pm 2 2}{2 ( - 4 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 6 ) + 2 2}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 6 ) - 2 2}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 2 6 ) + 2 2}{2 ( - 4 )} : - \frac{6 + 2}{4}

\frac{- ( - 2 6 ) + 2 2}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 6 + 2 2}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 6 + 2 2}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 6 + 2 2}{8}

Streiche

\frac{2 6 + 2 2}{8} : \frac{6 + 2}{4}

\frac{2 6 + 2 2}{8}

Klammere gleiche Terme aus

2

= \frac{2 ( 6 + 2 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{6 + 2}{4}

= - \frac{6 + 2}{4}

u = \frac{- ( - 2 6 ) - 2 2}{2 ( - 4 )} : - \frac{6 - 2}{4}

\frac{- ( - 2 6 ) - 2 2}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 6 - 2 2}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 6 - 2 2}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 6 - 2 2}{8}

Streiche

\frac{2 6 - 2 2}{8} : \frac{6 - 2}{4}

\frac{2 6 - 2 2}{8}

Klammere gleiche Terme aus

2

= \frac{2 ( 6 - 2 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{6 - 2}{4}

= - \frac{6 - 2}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{6 + 2}{4}, u = - \frac{6 - 2}{4}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}, sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}, sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4} : x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4} : x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

cos (x) - 3 sin (x) = 2

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

Falsch

arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

cos (x) - 3 sin (x) = 2

ein, um zu lösen

cos (arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) - 3 sin (arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

1.93185 \dots = 1.41421 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

Wahr

π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

cos (x) - 3 sin (x) = 2

ein, um zu lösen

cos (π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) - 3 sin (π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

1.41421 \dots = 1.41421 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

cos (x) - 3 sin (x) = 2

ein, um zu lösen

cos (arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) - 3 sin (arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

1.41421 \dots = 1.41421 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

cos (x) - 3 sin (x) = 2

ein, um zu lösen

cos (π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) - 3 sin (π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

- 0.51763 \dots = 1.41421 \dots

\Rightarrow Falsch

x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = π + 1.30899 \dots + 2 πn, x = - 0.26179 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

(cot(θ)+sqrt(3))(csc(θ)+sqrt(2))=0

(cot (θ) + 3) (csc (θ) + 2) = 0

cos(x)=(-2)/5

cos (x) = \frac{- 2}{5}

sin(θ/2)= 1/m

sin (\frac{θ}{2}) = \frac{1}{m}

2(cos^4(x)+1-sin^4(x))=3

2 (cos^{4} (x) + 1 - sin^{4} (x)) = 3

csc((2x)/3)-1=0

csc (\frac{2 x}{3}) - 1 = 0