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Beliebt Trigonometrie >

7cos(2x)=7cos(x)

Lösung

7 cos (2 x) = 7 cos (x)

Lösung

x = 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

7 cos (2 x) = 7 cos (x)

Subtrahiere

7 cos (x)

von beiden Seiten

7 cos (2 x) - 7 cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

7 cos (2 x) - 7 cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 7 (2 cos^{2} (x) - 1) - 7 cos (x)

(- 1 + 2 cos^{2} (x)) \cdot 7 - 7 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

(- 1 + 2 cos^{2} (x)) \cdot 7 - 7 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 7 - 7 u = 0

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 7 - 7 u = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 7 - 7 u = 0

Schreibe

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 7 - 7 u

um:

- 7 + 14 u^{2} - 7 u

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 7 - 7 u

= 7 (- 1 + 2 u^{2}) - 7 u

Multipliziere aus

7 (- 1 + 2 u^{2}) : - 7 + 14 u^{2}

7 (- 1 + 2 u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 7, b = - 1, c = 2 u^{2}

= 7 (- 1) + 7 \cdot 2 u^{2}

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 7 \cdot 1 + 7 \cdot 2 u^{2}

Vereinfache

- 7 \cdot 1 + 7 \cdot 2 u^{2} : - 7 + 14 u^{2}

- 7 \cdot 1 + 7 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

7 \cdot 1 = 7

= - 7 + 7 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

7 \cdot 2 = 14

= - 7 + 14 u^{2}

= - 7 + 14 u^{2}

= - 7 + 14 u^{2} - 7 u

- 7 + 14 u^{2} - 7 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

14 u^{2} - 7 u - 7 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

14 u^{2} - 7 u - 7 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 14, b = - 7, c = - 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 \cdot 14 ( - 7 )}{2 \cdot 14}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 \cdot 14 ( - 7 )}{2 \cdot 14}

(- 7)^{2} - 4 \cdot 14 (- 7) = 21

(- 7)^{2} - 4 \cdot 14 (- 7)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 7)^{2} + 4 \cdot 14 \cdot 7

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 7)^{2} = 7^{2}

= 7^{2} + 4 \cdot 14 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 14 \cdot 7 = 392

= 7^{2} + 392

7^{2} = 49

= 49 + 392

Addiere die Zahlen:

49 + 392 = 441

= 441

Faktorisiere die Zahl:

441 = 2 1^{2}

= 2 1^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2 1^{2} = 21

= 21

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm 21}{2 \cdot 14}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 7 ) + 21}{2 \cdot 14}, u_{2} = \frac{- ( - 7 ) - 21}{2 \cdot 14}

u = \frac{- ( - 7 ) + 21}{2 \cdot 14} : 1

\frac{- ( - 7 ) + 21}{2 \cdot 14}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{7 + 21}{2 \cdot 14}

Addiere die Zahlen:

7 + 21 = 28

= \frac{28}{2 \cdot 14}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 14 = 28

= \frac{28}{28}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 7 ) - 21}{2 \cdot 14} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 7 ) - 21}{2 \cdot 14}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{7 - 21}{2 \cdot 14}

Subtrahiere die Zahlen:

7 - 21 = - 14

= \frac{- 14}{2 \cdot 14}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 14 = 28

= \frac{- 14}{28}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{14}{28}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

14

= - \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3tan(θ)-cot(θ)=0

3 tan (θ) - cot (θ) = 0

sin(1/2 x+pi/6)=(sqrt(3))/2

sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6}) = \frac{3}{2}

6sin(3x)=2

6 sin (3 x) = 2

sin^2(θ)+4sin(θ)+3=0

sin^{2} (θ) + 4 sin (θ) + 3 = 0

2*cos(x)=0

2 \cdot cos (x) = 0