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Beliebt Trigonometrie >

sin(2x)-sqrt(2)cos(x)=sqrt(2)sin(x)-1

Lösung

sin (2 x) - 2 cos (x) = 2 sin (x) - 1

Lösung

x = \frac{3 π}{4} + πn, x = 2 πn + \frac{π}{4}

Grad

x = 13 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin (2 x) - 2 cos (x) = 2 sin (x) - 1

Subtrahiere

2 sin (x) - 1

von beiden Seiten

sin (2 x) - 2 cos (x) - 2 sin (x) + 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + sin (2 x) - cos (x) 2 - sin (x) 2

1 + sin (2 x) = (sin (x) + cos (x))^{2}

1 + sin (2 x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

= (cos^{2} (x) + sin^{2} (x)) + sin (2 x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos^{2} (x) + sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) + cos^{2} (x) = (sin (x) + cos (x))^{2}

= (sin (x) + cos (x))^{2}

= (sin (x) + cos (x))^{2} - 2 cos (x) - 2 sin (x)

(cos (x) + sin (x))^{2} - cos (x) 2 - sin (x) 2 = 0

Faktorisiere

(cos (x) + sin (x))^{2} - cos (x) 2 - sin (x) 2 : (cos (x) + sin (x)) (cos (x) + sin (x) - 2)

(cos (x) + sin (x))^{2} - cos (x) 2 - sin (x) 2

Klammere gleiche Terme aus

2

= (cos (x) + sin (x))^{2} - 2 (cos (x) + sin (x))

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

(cos (x) + sin (x))^{2} = (cos (x) + sin (x)) (cos (x) + sin (x))

= (cos (x) + sin (x)) (cos (x) + sin (x)) - 2 (cos (x) + sin (x))

Klammere gleiche Terme aus

(cos (x) + sin (x))

= (cos (x) + sin (x)) (cos (x) + sin (x) - 2)

(cos (x) + sin (x)) (cos (x) + sin (x) - 2) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (x) + sin (x) = 0 or cos (x) + sin (x) - 2 = 0

cos (x) + sin (x) = 0 : x = \frac{3 π}{4} + πn

cos (x) + sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (x) + sin (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 + tan (x) = 0

1 + tan (x) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + tan (x) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + tan (x) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

tan (x) = - 1

tan (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

tan (x) = - 1

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

cos (x) + sin (x) - 2 = 0 : x = 2 πn + \frac{π}{4}

cos (x) + sin (x) - 2 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (x) + sin (x) - 2

sin (x) + cos (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

sin (x) + cos (x)

Schreibe um

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x))

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) + sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (x + \frac{π}{4})

= - 2 + 2 sin (x + \frac{π}{4})

- 2 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

- 2 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

- 2 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) + 2 = 0 + 2

Vereinfache

2 sin (x + \frac{π}{4}) = 2

2 sin (x + \frac{π}{4}) = 2

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x + \frac{π}{4}) = 2

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{2}{2}

Vereinfache

sin (x + \frac{π}{4}) = 1

sin (x + \frac{π}{4}) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (x + \frac{π}{4}) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn

Löse

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{π}{4}

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{4}

von beiden Seiten

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Vereinfache

\frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{π}{4}

\frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn + \frac{π}{2} - \frac{π}{4}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 4 : 4

2, 4

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

4

vorkommt

= 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

4

Für

\frac{π}{2} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{π}{2} = \frac{π 2}{2 \cdot 2} = \frac{π 2}{4}

= \frac{π 2}{4} - \frac{π}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 - π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

2 π - π = π

= 2 πn + \frac{π}{4}

x = 2 πn + \frac{π}{4}

x = 2 πn + \frac{π}{4}

x = 2 πn + \frac{π}{4}

x = 2 πn + \frac{π}{4}

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{3 π}{4} + πn, x = 2 πn + \frac{π}{4}

Graph

Beliebte Beispiele

cos^2(θ)-3/2 cos(2θ)=0

cos^{2} (θ) - \frac{3}{2} cos (2 θ) = 0

sinh(x)= 3/4 ,cosh(x)

sinh (x) = \frac{3}{4}, cosh (x)

tan(θ)=1.4739716

tan (θ) = 1.4739716

cos(2x)=cos(1/2)

cos (2 x) = cos (\frac{1}{2})

cos(x)= 3/10

cos (x) = \frac{3}{10}