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Beliebt Trigonometrie >

-6cos(2x)+23cos(x)-11=0

Lösung

- 6 cos (2 x) + 23 cos (x) - 11 = 0

Lösung

x = 1.31811 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.31811 \dots + 2 πn

Grad

x = 75.52248 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 284.47751 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 6 cos (2 x) + 23 cos (x) - 11 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 11 + 23 cos (x) - 6 cos (2 x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 11 + 23 cos (x) - 6 (2 cos^{2} (x) - 1)

Vereinfache

- 11 + 23 cos (x) - 6 (2 cos^{2} (x) - 1) : 23 cos (x) - 12 cos^{2} (x) - 5

- 11 + 23 cos (x) - 6 (2 cos^{2} (x) - 1)

Multipliziere aus

- 6 (2 cos^{2} (x) - 1) : - 12 cos^{2} (x) + 6

- 6 (2 cos^{2} (x) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 6, b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= - 6 \cdot 2 cos^{2} (x) - (- 6) \cdot 1

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 6 \cdot 2 cos^{2} (x) + 6 \cdot 1

Vereinfache

- 6 \cdot 2 cos^{2} (x) + 6 \cdot 1 : - 12 cos^{2} (x) + 6

- 6 \cdot 2 cos^{2} (x) + 6 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 2 = 12

= - 12 cos^{2} (x) + 6 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 1 = 6

= - 12 cos^{2} (x) + 6

= - 12 cos^{2} (x) + 6

= - 11 + 23 cos (x) - 12 cos^{2} (x) + 6

Vereinfache

- 11 + 23 cos (x) - 12 cos^{2} (x) + 6 : 23 cos (x) - 12 cos^{2} (x) - 5

- 11 + 23 cos (x) - 12 cos^{2} (x) + 6

Fasse gleiche Terme zusammen

= 23 cos (x) - 12 cos^{2} (x) - 11 + 6

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 11 + 6 = - 5

= 23 cos (x) - 12 cos^{2} (x) - 5

= 23 cos (x) - 12 cos^{2} (x) - 5

= 23 cos (x) - 12 cos^{2} (x) - 5

- 5 - 12 cos^{2} (x) + 23 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- 5 - 12 cos^{2} (x) + 23 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 5 - 12 u^{2} + 23 u = 0

- 5 - 12 u^{2} + 23 u = 0 : u = \frac{1}{4}, u = \frac{5}{3}

- 5 - 12 u^{2} + 23 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 12 u^{2} + 23 u - 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 12 u^{2} + 23 u - 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 12, b = 23, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- 23 \pm 2 3 ^{2} - 4 ( - 12 ) ( - 5 )}{2 ( - 12 )}

u_{1, 2} = \frac{- 23 \pm 2 3 ^{2} - 4 ( - 12 ) ( - 5 )}{2 ( - 12 )}

2 3^{2} - 4 (- 12) (- 5) = 17

2 3^{2} - 4 (- 12) (- 5)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2 3^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 12 \cdot 5 = 240

= 2 3^{2} - 240

2 3^{2} = 529

= 529 - 240

Subtrahiere die Zahlen:

529 - 240 = 289

= 289

Faktorisiere die Zahl:

289 = 1 7^{2}

= 1 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 7^{2} = 17

= 17

u_{1, 2} = \frac{- 23 \pm 17}{2 ( - 12 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 23 + 17}{2 ( - 12 )}, u_{2} = \frac{- 23 - 17}{2 ( - 12 )}

u = \frac{- 23 + 17}{2 ( - 12 )} : \frac{1}{4}

\frac{- 23 + 17}{2 ( - 12 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 23 + 17}{- 2 \cdot 12}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 23 + 17 = - 6

= \frac{- 6}{- 2 \cdot 12}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 12 = 24

= \frac{- 6}{- 24}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{6}{24}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{1}{4}

u = \frac{- 23 - 17}{2 ( - 12 )} : \frac{5}{3}

\frac{- 23 - 17}{2 ( - 12 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 23 - 17}{- 2 \cdot 12}

Subtrahiere die Zahlen:

- 23 - 17 = - 40

= \frac{- 40}{- 2 \cdot 12}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 12 = 24

= \frac{- 40}{- 24}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{40}{24}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= \frac{5}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{4}, u = \frac{5}{3}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1}{4}, cos (x) = \frac{5}{3}

cos (x) = \frac{1}{4}, cos (x) = \frac{5}{3}

cos (x) = \frac{1}{4} : x = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{5}{3} :

Keine Lösung

cos (x) = \frac{5}{3}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.31811 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.31811 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

(178.9)/(sin(125))=(125)/(sin(x))

\frac{178.9}{sin ( 12 5 ^{\circ} )} = \frac{125}{sin ( x )}

cos(θ)= 3/8

cos (θ) = \frac{3}{8}

arccos(x)-arcsin(x)=arccos((sqrt(3))/2)

arccos (x) - arcsin (x) = arccos (\frac{3}{2})

1/4 sin(4t)=0

\frac{1}{4} sin (4 t) = 0

2cos(4x)=2cos^2(2x)-sin(2x)-1

2 cos (4 x) = 2 cos^{2} (2 x) - sin (2 x) - 1