English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Beliebt Trigonometrie >

2cos^2(x)-cos(x)=2-sec(x)

Lösung

2 cos^{2} (x) - cos (x) = 2 - sec (x)

Lösung

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = π + 2 πn, x = 2 πn

Grad

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos^{2} (x) - cos (x) = 2 - sec (x)

Subtrahiere

2 - sec (x)

von beiden Seiten

2 cos^{2} (x) - cos (x) - 2 + sec (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 2 - cos (x) + sec (x) + 2 cos^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 2 - \frac{1}{sec ( x )} + sec (x) + 2 (\frac{1}{sec ( x )})^{2}

2 (\frac{1}{sec ( x )})^{2} = \frac{2}{sec ^{2} ( x )}

2 (\frac{1}{sec ( x )})^{2}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

= 2 \cdot \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sec ^{2} ( x )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sec ^{2} ( x )}

= - 2 - \frac{1}{sec ( x )} + sec (x) + \frac{2}{sec ^{2} ( x )}

- 2 - \frac{1}{sec ( x )} + \frac{2}{sec ^{2} ( x )} + sec (x) = 0

Löse mit Substitution

- 2 - \frac{1}{sec ( x )} + \frac{2}{sec ^{2} ( x )} + sec (x) = 0

Angenommen:

sec (x) = u

- 2 - \frac{1}{u} + \frac{2}{u ^{2}} + u = 0

- 2 - \frac{1}{u} + \frac{2}{u ^{2}} + u = 0 : u = 2, u = - 1, u = 1

- 2 - \frac{1}{u} + \frac{2}{u ^{2}} + u = 0

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator

- 2 - \frac{1}{u} + \frac{2}{u ^{2}} + u = 0

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von

u, u^{2} : u^{2}

u, u^{2}

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

u

oder

u^{2}

auftauchen.

= u^{2}

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator=

u^{2}

- 2 u^{2} - \frac{1}{u} u^{2} + \frac{2}{u ^{2}} u^{2} + u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Vereinfache

- 2 u^{2} - \frac{1}{u} u^{2} + \frac{2}{u ^{2}} u^{2} + u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Vereinfache

- \frac{1}{u} u^{2} : - u

- \frac{1}{u} u^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u ^{2}}{u}

Multipliziere:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= - \frac{u ^{2}}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= - u

Vereinfache

\frac{2}{u ^{2}} u^{2} : 2

\frac{2}{u ^{2}} u^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u ^{2}}{u ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u^{2}

= 2

Vereinfache

u u^{2} : u^{3}

u u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u u^{2} = u^{1 + 2}

= u^{1 + 2}

Addiere die Zahlen:

1 + 2 = 3

= u^{3}

Vereinfache

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

- 2 u^{2} - u + 2 + u^{3} = 0

- 2 u^{2} - u + 2 + u^{3} = 0

- 2 u^{2} - u + 2 + u^{3} = 0

Löse

- 2 u^{2} - u + 2 + u^{3} = 0 : u = 2, u = - 1, u = 1

- 2 u^{2} - u + 2 + u^{3} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{3} - 2 u^{2} - u + 2 = 0

Faktorisiere

u^{3} - 2 u^{2} - u + 2 : (u - 2) (u + 1) (u - 1)

u^{3} - 2 u^{2} - u + 2

= (u^{3} - 2 u^{2}) + (- u + 2)

Klammere

- 1

aus

- u + 2

aus

: - (u - 2)

- u + 2

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (u - 2)

Klammere

u^{2}

aus

u^{3} - 2 u^{2}

aus

: u^{2} (u - 2)

u^{3} - 2 u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= u u^{2} - 2 u^{2}

Klammere gleiche Terme aus

u^{2}

= u^{2} (u - 2)

= - (u - 2) + u^{2} (u - 2)

Klammere gleiche Terme aus

u - 2

= (u - 2) (u^{2} - 1)

Faktorisiere

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= (u - 2) (u + 1) (u - 1)

(u - 2) (u + 1) (u - 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u - 2 = 0 or u + 1 = 0 or u - 1 = 0

Löse

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u - 2 = 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

u - 2 + 2 = 0 + 2

Vereinfache

u = 2

u = 2

Löse

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

Löse

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

Die Lösungen sind

u = 2, u = - 1, u = 1

u = 2, u = - 1, u = 1

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

- 2 - \frac{1}{u} + \frac{2}{u ^{2}} + u

und vergleiche mit Null

u = 0

Löse

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 2, u = - 1, u = 1

Setze in

u = sec (x)

ein

sec (x) = 2, sec (x) = - 1, sec (x) = 1

sec (x) = 2, sec (x) = - 1, sec (x) = 1

sec (x) = 2 : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sec (x) = 2

Allgemeine Lösung für

sec (x) = 2

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sec (x) = - 1 : x = π + 2 πn

sec (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sec (x) = - 1

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

sec (x) = 1 : x = 2 πn

sec (x) = 1

Allgemeine Lösung für

sec (x) = 1

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = π + 2 πn, x = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin^4(x)-cos^4(x)= 1/2

sin^{4} (x) - cos^{4} (x) = \frac{1}{2}

solvefor x,y=tan(x)

so l v e f or x, y = tan (x)

sin(θ)=-2

sin (θ) = - 2

(cos(x/2))/2 =0

\frac{cos ( \frac{x}{2} )}{2} = 0

sin(2x)=cos(3x)

sin (2 x) = cos (3 x)