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Beliebt Trigonometrie >

sin(2x)=cos(3x)

Lösung

sin (2 x) = cos (3 x)

Lösung

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.31415 \dots + 2 πn, x = π - 0.31415 \dots + 2 πn, x = - 0.94247 \dots + 2 πn, x = π + 0.94247 \dots + 2 πn

Grad

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 1 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 16 2^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 5 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 23 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin (2 x) = cos (3 x)

Subtrahiere

cos (3 x)

von beiden Seiten

sin (2 x) - cos (3 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- cos (3 x) + sin (2 x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= - cos (3 x) + 2 sin (x) cos (x)

cos (3 x) = 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

cos (3 x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (3 x)

Schreibe um

= cos (2 x + x)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (2 x) cos (x) - sin (2 x) sin (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

Vereinfache

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x) : cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 cos (x) sin^{2} (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

Multipliziere aus

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

= cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) - 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = cos (x), b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= cos (x) 2 cos^{2} (x) - cos (x) 1

= 2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

Vereinfache

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 \cdot cos (x) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

1 \cdot cos (x) = cos (x)

1 cos (x)

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

Multipliziere aus

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x)) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2 cos (x), b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 2 cos (x) 1 - (- 2 cos (x)) cos^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

Vereinfache

- 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

2 \cdot 1 \cdot cos (x) = 2 cos (x)

2 \cdot 1 cos (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

Vereinfache

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

Addiere gleiche Elemente:

2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) = 4 cos^{3} (x)

= 4 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

Addiere gleiche Elemente:

- cos (x) - 2 cos (x) = - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= - (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)) + 2 cos (x) sin (x)

- (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)) : - 4 cos^{3} (x) + 3 cos (x)

- (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x))

Setze Klammern

= - (4 cos^{3} (x)) - (- 3 cos (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 4 cos^{3} (x) + 3 cos (x)

= - 4 cos^{3} (x) + 3 cos (x) + 2 cos (x) sin (x)

3 cos (x) - 4 cos^{3} (x) + 2 cos (x) sin (x) = 0

Faktorisiere

3 cos (x) - 4 cos^{3} (x) + 2 cos (x) sin (x) : cos (x) (3 - 4 cos^{2} (x) + 2 sin (x))

3 cos (x) - 4 cos^{3} (x) + 2 cos (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{3} (x) = cos (x) cos^{2} (x)

= 3 cos (x) - 4 cos (x) cos^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x)

Klammere gleiche Terme aus

cos (x)

= cos (x) (3 - 4 cos^{2} (x) + 2 sin (x))

cos (x) (3 - 4 cos^{2} (x) + 2 sin (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (x) = 0 or 3 - 4 cos^{2} (x) + 2 sin (x) = 0

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

3 - 4 cos^{2} (x) + 2 sin (x) = 0 : x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

3 - 4 cos^{2} (x) + 2 sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 + 2 sin (x) - 4 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 3 + 2 sin (x) - 4 (1 - sin^{2} (x))

Vereinfache

3 + 2 sin (x) - 4 (1 - sin^{2} (x)) : 4 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 1

3 + 2 sin (x) - 4 (1 - sin^{2} (x))

Multipliziere aus

- 4 (1 - sin^{2} (x)) : - 4 + 4 sin^{2} (x)

- 4 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 4 \cdot 1 - (- 4) sin^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 4 \cdot 1 + 4 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 sin^{2} (x)

= 3 + 2 sin (x) - 4 + 4 sin^{2} (x)

Vereinfache

3 + 2 sin (x) - 4 + 4 sin^{2} (x) : 4 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 1

3 + 2 sin (x) - 4 + 4 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 sin (x) + 4 sin^{2} (x) + 3 - 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

3 - 4 = - 1

= 4 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 1

= 4 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 1

= 4 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 1

- 1 + 2 sin (x) + 4 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 1 + 2 sin (x) + 4 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 1 + 2 u + 4 u^{2} = 0

- 1 + 2 u + 4 u^{2} = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

- 1 + 2 u + 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 25

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

Addiere die Zahlen:

4 + 16 = 20

= 20

Primfaktorzerlegung von

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20

ist durch

220 = 10 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 10

10

ist durch

210 = 5 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 5 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 5}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4} : \frac{- 1 + 5}{4}

\frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 + 2 5}{8}

Faktorisiere

- 2 + 25 : 2 (- 1 + 5)

- 2 + 25

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 25

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + 5)

= \frac{2 ( - 1 + 5 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 1 + 5}{4}

u = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4} : - \frac{1 + 5}{4}

\frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 - 2 5}{8}

Faktorisiere

- 2 - 25 : - 2 (1 + 5)

- 2 - 25

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 - 25

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (1 + 5)

= - \frac{2 ( 1 + 5 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1 + 5}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4} : x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4} : x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.31415 \dots + 2 πn, x = π - 0.31415 \dots + 2 πn, x = - 0.94247 \dots + 2 πn, x = π + 0.94247 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2cosh(2x)-sinh(2x)=2

2 cosh (2 x) - sinh (2 x) = 2

3cot(2x)-1=0

3 cot (2 x) - 1 = 0

sec(x)=tan(x)-1

sec (x) = tan (x) - 1

tan(θ)= 5/4

tan (θ) = \frac{5}{4}

2cos(x)sin(x)-3sin(x)=0

2 cos (x) sin (x) - 3 sin (x) = 0