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Beliebt Trigonometrie >

-2cos(2θ)+12=4sin(θ)+9

Lösung

- 2 cos (2 θ) + 12 = 4 sin (θ) + 9

Lösung

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Grad

θ = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 2 cos (2 θ) + 12 = 4 sin (θ) + 9

Subtrahiere

4 sin (θ) + 9

von beiden Seiten

- 2 cos (2 θ) - 4 sin (θ) + 3 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 - 2 cos (2 θ) - 4 sin (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 3 - 2 (1 - 2 sin^{2} (θ)) - 4 sin (θ)

Vereinfache

3 - 2 (1 - 2 sin^{2} (θ)) - 4 sin (θ) : 4 sin^{2} (θ) - 4 sin (θ) + 1

3 - 2 (1 - 2 sin^{2} (θ)) - 4 sin (θ)

Multipliziere aus

- 2 (1 - 2 sin^{2} (θ)) : - 2 + 4 sin^{2} (θ)

- 2 (1 - 2 sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = 2 sin^{2} (θ)

= - 2 \cdot 1 - (- 2) \cdot 2 sin^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Vereinfache

- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 sin^{2} (θ) : - 2 + 4 sin^{2} (θ)

- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= - 2 + 4 sin^{2} (θ)

= - 2 + 4 sin^{2} (θ)

= 3 - 2 + 4 sin^{2} (θ) - 4 sin (θ)

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 2 = 1

= 4 sin^{2} (θ) - 4 sin (θ) + 1

= 4 sin^{2} (θ) - 4 sin (θ) + 1

1 - 4 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

1 - 4 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

1 - 4 u + 4 u^{2} = 0

1 - 4 u + 4 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}

1 - 4 u + 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 4 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} - 4 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = - 4, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}{2 \cdot 4}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 0

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 16 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 0}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 4}

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2}

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

Die Lösung für die quadratische Gleichung ist:

u = \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sec^2(x)+sec(x)-2=0

sec^{2} (x) + sec (x) - 2 = 0

(cot(x)-1)(2sin(x)+1)=0

(cot (x) - 1) (2 sin (x) + 1) = 0

solvefor y,x=tan(y)

so l v e f or y, x = tan (y)

tan(x)=-12/5

tan (x) = - \frac{12}{5}

2cos(x)=sin(x)

2 cos (x) = sin (x)