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Beliebt Trigonometrie >

csc^2(θ)-csc(θ)-20=0

Lösung

csc^{2} (θ) - csc (θ) - 20 = 0

Lösung

θ = 0.20135 \dots + 2 πn, θ = π - 0.20135 \dots + 2 πn, θ = - 0.25268 \dots + 2 πn, θ = π + 0.25268 \dots + 2 πn

Grad

θ = 11.53695 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 168.46304 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 14.47751 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 194.47751 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

csc^{2} (θ) - csc (θ) - 20 = 0

Löse mit Substitution

csc^{2} (θ) - csc (θ) - 20 = 0

Angenommen:

csc (θ) = u

u^{2} - u - 20 = 0

u^{2} - u - 20 = 0 : u = 5, u = - 4

u^{2} - u - 20 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - u - 20 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 1, c = - 20

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 20 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 20 )}{2 \cdot 1}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20) = 9

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 20

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 20 = 80

4 \cdot 1 \cdot 20

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 20 = 80

= 80

= 1 + 80

Addiere die Zahlen:

1 + 80 = 81

= 81

Faktorisiere die Zahl:

81 = 9^{2}

= 9^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

9^{2} = 9

= 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 9}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 9}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 9}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 1 ) + 9}{2 \cdot 1} : 5

\frac{- ( - 1 ) + 9}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 9}{2 \cdot 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 9 = 10

= \frac{10}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{10}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{10}{2} = 5

= 5

u = \frac{- ( - 1 ) - 9}{2 \cdot 1} : - 4

\frac{- ( - 1 ) - 9}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 9}{2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 9 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 8}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{2} = 4

= - 4

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 5, u = - 4

Setze in

u = csc (θ)

ein

csc (θ) = 5, csc (θ) = - 4

csc (θ) = 5, csc (θ) = - 4

csc (θ) = 5 : θ = arccsc (5) + 2 πn, θ = π - arccsc (5) + 2 πn

csc (θ) = 5

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

csc (θ) = 5

Allgemeine Lösung für

csc (θ) = 5

csc (x) = a \Rightarrow x = arccsc (a) + 2 πn, x = π - arccsc (a) + 2 πn

θ = arccsc (5) + 2 πn, θ = π - arccsc (5) + 2 πn

θ = arccsc (5) + 2 πn, θ = π - arccsc (5) + 2 πn

csc (θ) = - 4 : θ = arccsc (- 4) + 2 πn, θ = π + arccsc (4) + 2 πn

csc (θ) = - 4

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

csc (θ) = - 4

Allgemeine Lösung für

csc (θ) = - 4

csc (x) = - a \Rightarrow x = arccsc (- a) + 2 πn, x = π + arccsc (a) + 2 πn

θ = arccsc (- 4) + 2 πn, θ = π + arccsc (4) + 2 πn

θ = arccsc (- 4) + 2 πn, θ = π + arccsc (4) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccsc (5) + 2 πn, θ = π - arccsc (5) + 2 πn, θ = arccsc (- 4) + 2 πn, θ = π + arccsc (4) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 0.20135 \dots + 2 πn, θ = π - 0.20135 \dots + 2 πn, θ = - 0.25268 \dots + 2 πn, θ = π + 0.25268 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sec^2(θ)+7sec(θ)+6=0

sec^{2} (θ) + 7 sec (θ) + 6 = 0

cos(x)= 3/8

cos (x) = \frac{3}{8}

-1=cos(x)

- 1 = cos (x)

cos(2x)-3sin(x)+1=0

cos (2 x) - 3 sin (x) + 1 = 0

8tan(θ)-12=5tan(θ)-9

8 tan (θ) - 12 = 5 tan (θ) - 9