integral of r^2sqrt(16-r^2)

Lösung

\int r^{2} 16 - r^{2} d r

32 (arcsin (\frac{1}{4} r) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{4} r))) + C

Schritte zur Lösung

\int r^{2} 16 - r^{2} d r

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 256 sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 256 \cdot \int sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 256 \cdot \int \frac{1 - cos ( 4 u )}{8} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 256 \cdot \frac{1}{8} \cdot \int 1 - cos (4 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 256 \cdot \frac{1}{8} (\int 1 d u - \int cos (4 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (4 u) d u = \frac{1}{4} sin (4 u)

= 256 \cdot \frac{1}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{4} r)

ein

= 256 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{4} r) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{4} r)))

Vereinfache

256 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{4} r) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{4} r))) : 32 (arcsin (\frac{1}{4} r) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{4} r)))

= 32 (arcsin (\frac{1}{4} r) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{4} r)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 32 (arcsin (\frac{1}{4} r) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{4} r))) + C