integral of 3/(1+2e^x-e^{-x)}

Lösung

\int \frac{3}{1 + 2 e ^{x} - e ^{- x}} d x

ln ∣ 2 e^{x} - 1 ∣ - ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{3}{1 + 2 e ^{x} - e ^{- x}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{1}{1 + 2 e ^{x} - e ^{- x}} d x

Wende U-Substitution an

= 3 \cdot \int \frac{1}{u + 2 u ^{2} - 1} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{u + 2 u ^{2} - 1} : \frac{2}{3 ( 2 u - 1 )} - \frac{1}{3 ( u + 1 )}

= 3 \cdot \int \frac{2}{3 ( 2 u - 1 )} - \frac{1}{3 ( u + 1 )} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 (\int \frac{2}{3 ( 2 u - 1 )} d u - \int \frac{1}{3 ( u + 1 )} d u)

\int \frac{2}{3 ( 2 u - 1 )} d u = \frac{1}{3} ln ∣ 2 u - 1 ∣

\int \frac{1}{3 ( u + 1 )} d u = \frac{1}{3} ln ∣ u + 1 ∣

= 3 (\frac{1}{3} ln ∣ 2 u - 1 ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ u + 1 ∣)

Setze in

u = e^{x}

ein

= 3 (\frac{1}{3} ln ∣ 2 e^{x} - 1 ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} + 1 ∣)

Vereinfache

3 (\frac{1}{3} ln ∣ 2 e^{x} - 1 ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} + 1 ∣) : ln ∣ 2 e^{x} - 1 ∣ - ln ∣ e^{x} + 1 ∣

= ln ∣ 2 e^{x} - 1 ∣ - ln ∣ e^{x} + 1 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln ∣ 2 e^{x} - 1 ∣ - ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + C

\int \frac{( x e ^{x} )}{( 1 + x ) ^{2}} d x

\int (x + 1) 6 - x d x

x \to - 3 - lim (x^{3} + 27)

f (x) = \frac{1}{3 x ^{2}}

t a y l or lo g_{10} (x + 1)